二分探索木

バイナリサーチツリーは、バイナリソートツリー、バイナリサーチツリーとも呼ばれ、次のように定義された特定のルールを持つバイナリツリーです。

バイナリツリーまたは空のツリーです。
左側のサブツリーのすべてのノードの値はそのルートノードよりも小さく、右側のサブツリーのすべてのノードの値はそのルートノードよりも大きくなっています。
左側と右側のサブツリーも二分探索木です。

二分探索木の特徴は、左の息子から左の息子までを探すと最小の要素を見つけることができ、右の息子から右の息子を探すと最大の要素を見つけることができるということです。

要素のソートを実装するために使用できるようですが、バイナリサーチツリーはバランスのとれたバイナリツリーであることが保証されていないため、バイナリヒープを使用してヒープソートを実装します。最悪の場合、バイナリサーチツリーはリンクリスト、つまり、すべてのノードに左サブツリーまたは右サブツリーがないため、ツリー階層が深すぎて、ソートのパフォーマンスが低下します。

バイナリ検索を使用すると、バイナリ検索ツリーで必要な値をすばやく見つけることができます。

二分探索木の要素を追加、削除、検索する方法を分析しましょう。

まず、要素を追加します

以下は、二分探索木を表したものです。

// 二叉查找树
type BinarySearchTree struct {
    Root *BinarySearchTreeNode // 树根节点
}

// 二叉查找树节点
type BinarySearchTreeNode struct {
    Value int64                 // 值
    Times int64                 // 值出现的次数
    Left  *BinarySearchTreeNode // 左子树
    Right *BinarySearchTreeNode // 右字树
}

// 初始化一个二叉查找树
func NewBinarySearchTree() *BinarySearchTree {
    return new(BinarySearchTree)
}

ノードは要素を表し、ノードのValue値は二分探索に使用されるキーです。Value値が繰り返されると、値の出現回数がTimes1 増えます。要素を追加するためのコードは次のとおりです。

// 添加元素
func (tree *BinarySearchTree) Add(value int64) {
    // 如果没有树根，证明是颗空树，添加树根后返回
    if tree.Root == nil {
        tree.Root = &BinarySearchTreeNode{Value: value}
        return
    }

    // 将值添加进去
    tree.Root.Add(value)
}

func (node *BinarySearchTreeNode) Add(value int64) {
    if value < node.Value {
        // 如果插入的值比节点的值小，那么要插入到该节点的左子树中
        // 如果左子树为空，直接添加
        if node.Left == nil {
            node.Left = &BinarySearchTreeNode{Value: value}
        } else {
            // 否则递归
            node.Left.Add(value)
        }
    } else if value > node.Value {
        // 如果插入的值比节点的值大，那么要插入到该节点的右子树中
        // 如果右子树为空，直接添加
        if node.Right == nil {
            node.Right = &BinarySearchTreeNode{Value: value}
        } else {
            // 否则递归
            node.Right.Add(value)
        }
    } else {
        // 值相同，不需要添加，值出现的次数加1即可
        node.Times = node.Times + 1
    }
}

要素を追加するときに空のツリーである場合は、ルートノードを初期化します。

次に、追加された値をルートノードと比較して、ルートノードの左側または右側のサブツリーに挿入するか、挿入しないかを決定します。

値がルートノードより小さい場合、要素はルートノードの左側のサブツリーに挿入され、値がルートノードより大きい場合、要素はルートノードの右側のサブツリーに挿入されます。

次に、ルートノードの左右のサブツリーを再帰的に操作します。

次に、最大または最小の要素を見つけます

最大値と最小値を見つけるのは比較的簡単です。最小の要素を見つけるには、左の息子から左の息子まで探し続けます。最大の要素を見つけるには、右の息子から右の息子を探し続けます。

// 找出最小值的节点
func (tree *BinarySearchTree) FindMinValue() *BinarySearchTreeNode {
    if tree.Root == nil {
        // 如果是空树，返回空
        return nil
    }

    return tree.Root.FindMinValue()
}

func (node *BinarySearchTreeNode) FindMinValue() *BinarySearchTreeNode {
    // 左子树为空，表面已经是最左的节点了，该值就是最小值
    if node.Left == nil {
        return node
    }

    // 一直左子树递归
    return node.Left.FindMinValue()
}

// 找出最大值的节点
func (tree *BinarySearchTree) FindMaxValue() *BinarySearchTreeNode {
    if tree.Root == nil {
        // 如果是空树，返回空
        return nil
    }

    return tree.Root.FindMaxValue()
}

func (node *BinarySearchTreeNode) FindMaxValue() *BinarySearchTreeNode {
    // 右子树为空，表面已经是最右的节点了，该值就是最大值
    if node.Right == nil {
        return node
    }

    // 一直右子树递归
    return node.Right.FindMaxValue()
}

3番目に、指定された要素を見つけます

二分探索法はここでも役に立ちます：

// 查找节点
func (tree *BinarySearchTree) Find(value int64) *BinarySearchTreeNode {
    if tree.Root == nil {
        // 如果是空树，返回空
        return nil
    }

    return tree.Root.Find(value)
}

func (node *BinarySearchTreeNode) Find(value int64) *BinarySearchTreeNode {
    if value == node.Value {
        // 如果该节点刚刚等于该值，那么返回该节点
        return node
    } else if value < node.Value {
        // 如果查找的值小于节点值，从节点的左子树开始找
        if node.Left == nil {
            // 左子树为空，表示找不到该值了，返回nil
            return nil
        }
        return node.Left.Find(value)
    } else {
        // 如果查找的值大于节点值，从节点的右子树开始找
        if node.Right == nil {
            // 右子树为空，表示找不到该值了，返回nil
            return nil
        }
        return node.Right.Find(value)
    }
}

空のツリーの場合はnilを返し、そうでない場合はルートノードと比較します。

ルートノードの値と同じである場合はノードを返します。それ以外の場合は、値の比較に従って、左側のサブツリーまたは右側の単語ツリーの再帰的な検索を続けます。

4番目に、指定された要素の親を見つけます

これは、要素の親ノードが追跡されることを除いて、指定された要素の検索と同じです。

// 查找指定节点的父亲
func (tree *BinarySearchTree) FindParent(value int64) *BinarySearchTreeNode {
    if tree.Root == nil {
        // 如果是空树，返回空
        return nil
    }

    // 如果根节点等于该值，根节点其没有父节点，返回nil
    if tree.Root.Value == value {
        return nil
    }
    return tree.Root.FindParent(value)
}

func (node *BinarySearchTreeNode) FindParent(value int64) *BinarySearchTreeNode {
    // 外层没有值相等的判定，因为在内层已经判定完毕后返回父亲节点。

    if value < node.Value {
        // 如果查找的值小于节点值，从节点的左子树开始找
        leftTree := node.Left
        if leftTree == nil {
            // 左子树为空，表示找不到该值了，返回nil
            return nil
        }

        // 左子树的根节点的值刚好等于该值，那么父亲就是现在的node，返回
        if leftTree.Value == value {
            return node
        } else {
            return leftTree.FindParent(value)
        }
    } else {
        // 如果查找的值大于节点值，从节点的右子树开始找
        rightTree := node.Right
        if rightTree == nil {
            // 右子树为空，表示找不到该值了，返回nil
            return nil
        }

        // 右子树的根节点的值刚好等于该值，那么父亲就是现在的node，返回
        if rightTree.Value == value {
            return node
        } else {
            return rightTree.FindParent(value)
        }
    }
}

それに応じてコードが調整され、親ノードの取得が容易になりました。

返された親ノードが空の場合は、親がいないことを意味します。

5、要素を削除する

要素を削除するケースは4つあります。

最初のケースでは、ルートノードが削除され、ルートノードに息子がいないため、直接削除します。
2番目のケースでは、削除されたノードには親ノードがありますが、サブツリーはありません。つまり、削除されたリーフノードであり、直接削除するだけです。
3番目のケースでは、削除されたノードの下に2つのサブツリーがあります。これは、右側のサブツリーの値が左側のサブツリーの値より大きいため、削除されたノードを右側のサブツリーの最小要素で置き換えます。再び満足。右側のサブツリーの左側を探し続ける限り、右側のサブツリーの最小要素を見つけることができます。
4番目のケースでは、削除されたノードにはサブツリーが1つしかないため、サブツリーは削除されたノードを直接置き換えることができます。

コードは次のように実装されます。

// 删除指定的元素
func (tree *BinarySearchTree) Delete(value int64) {
    if tree.Root == nil {
        // 如果是空树，直接返回
        return
    }

    // 查找该值是否存在
    node := tree.Root.Find(value)
    if node == nil {
        // 不存在该值，直接返回
        return
    }

    // 查找该值的父亲节点
    parent := tree.Root.FindParent(value)

    // 第一种情况，删除的是根节点，且根节点没有儿子
    if parent == nil && node.Left == nil && node.Right == nil {
        // 置空后直接返回
        tree.Root = nil
        return
    } else if node.Left == nil && node.Right == nil {
        // 第二种情况，删除的节点有父亲节点，但没有子树

        // 如果删除的是节点是父亲的左儿子，直接将该值删除即可
        if parent.Left != nil && value == parent.Left.Value {
            parent.Left = nil
        } else {
            // 删除的原来是父亲的右儿子，直接将该值删除即可
            parent.Right = nil
        }
        return
    } else if node.Left != nil && node.Right != nil {
        // 第三种情况，删除的节点下有两个子树，因为右子树的值都比左子树大，那么用右子树中的最小元素来替换删除的节点。
        // 右子树的最小元素，只要一直往右子树的左边一直找一直找就可以找到，替换后二叉查找树的性质又满足了。

        // 找右子树中最小的值，一直往右子树的左边找
        minNode := node.Right
        for minNode.Left != nil {
            minNode = minNode.Left
        }
        // 把最小的节点删掉
        tree.Delete(minNode.Value)

        // 最小值的节点替换被删除节点
        node.Value = minNode.Value
        node.Times = minNode.Times
    } else {
        // 第四种情况，只有一个子树，那么该子树直接替换被删除的节点即可

        // 父亲为空，表示删除的是根节点，替换树根
        if parent == nil {
            if node.Left != nil {
                tree.Root = node.Left
            } else {
                tree.Root = node.Right
            }
            return
        }
        // 左子树不为空
        if node.Left != nil {
            // 如果删除的是节点是父亲的左儿子，让删除的节点的左子树接班
            if parent.Left != nil && value == parent.Left.Value {
                parent.Left = node.Left
            } else {
                parent.Right = node.Left
            }
        } else {
            // 如果删除的是节点是父亲的左儿子，让删除的节点的右子树接班
            if parent.Left != nil && value == parent.Left.Value {
                parent.Left = node.Right
            } else {
                parent.Right = node.Right
            }
        }
    }
}

最初に、削除する要素のノードを見つけます。次に、ノードの親tree.Root.Find(value)を見つけますtree.Root.FindParent(value)。4つの異なる状況に従って、削除したノードを入力します。核となるのは3番目のケースで、削除されたノードに2つのサブツリーがある場合、削除されたノードを右側のサブツリーの最小のノードに置き換える必要があります。

上記のコードは最適化でき、削除された要素のノードを検索するときに親ノードを見つけることができます。3つ目のケースでは、親ノードを個別にクエリする必要はありません。正しいサブツリーの最小ノードを見つけたら、直接削除できます。再帰的に使用する必要はありませんtree.Delete(minNode.Value)。

この一般的な形式のバイナリサーチツリーはほとんど使用されないため、ほとんどのプログラムはAVLツリーまたは赤黒ツリーを使用します。

6、順トラバーサル（ソートを実現するため）

ソートは、ツリーが順番にトラバースされる限り、バイナリ検索ツリーを使用して実現できます。

最初に左側のサブツリーを出力し、次にルートノードの値を出力し、次に右側のサブツリーを出力します。これは再帰的なプロセスです。

// 中序遍历
func (tree *BinarySearchTree) MidOrder() {
    tree.Root.MidOrder()
}

func (node *BinarySearchTreeNode) MidOrder() {
    if node == nil {
        return
    }

    // 先打印左子树
    node.Left.MidOrder()

    // 按照次数打印根节点
    for i := 0; i <= int(node.Times); i++ {
        fmt.Println(node.Value)
    }

    // 打印右子树
    node.Right.MidOrder()
}

7つの完全なコード

package main

import (
    "fmt"
)

// 二叉查找树节点
type BinarySearchTree struct {
    Root *BinarySearchTreeNode // 树根节点
}

// 二叉查找树节点
type BinarySearchTreeNode struct {
    Value int64                 // 值
    Times int64                 // 值出现的次数
    Left  *BinarySearchTreeNode // 左子树
    Right *BinarySearchTreeNode // 右字树
}

// 初始化一个二叉查找树
func NewBinarySearchTree() *BinarySearchTree {
    return new(BinarySearchTree)
}

// 添加元素
func (tree *BinarySearchTree) Add(value int64) {
    // 如果没有树根，证明是颗空树，添加树根后返回
    if tree.Root == nil {
        tree.Root = &BinarySearchTreeNode{Value: value}
        return
    }

    // 将值添加进去
    tree.Root.Add(value)
}

func (node *BinarySearchTreeNode) Add(value int64) {
    if value < node.Value {
        // 如果插入的值比节点的值小，那么要插入到该节点的左子树中
        // 如果左子树为空，直接添加
        if node.Left == nil {
            node.Left = &BinarySearchTreeNode{Value: value}
        } else {
            // 否则递归
            node.Left.Add(value)
        }
    } else if value > node.Value {
        // 如果插入的值比节点的值大，那么要插入到该节点的右子树中
        // 如果右子树为空，直接添加
        if node.Right == nil {
            node.Right = &BinarySearchTreeNode{Value: value}
        } else {
            // 否则递归
            node.Right.Add(value)
        }
    } else {
        // 值相同，不需要添加，值出现的次数加1即可
        node.Times = node.Times + 1
    }
}

// 找出最小值的节点
func (tree *BinarySearchTree) FindMinValue() *BinarySearchTreeNode {
    if tree.Root == nil {
        // 如果是空树，返回空
        return nil
    }

    return tree.Root.FindMinValue()
}

func (node *BinarySearchTreeNode) FindMinValue() *BinarySearchTreeNode {
    // 左子树为空，表面已经是最左的节点了，该值就是最小值
    if node.Left == nil {
        return node
    }

    // 一直左子树递归
    return node.Left.FindMinValue()
}

// 找出最大值的节点
func (tree *BinarySearchTree) FindMaxValue() *BinarySearchTreeNode {
    if tree.Root == nil {
        // 如果是空树，返回空
        return nil
    }

    return tree.Root.FindMaxValue()
}

func (node *BinarySearchTreeNode) FindMaxValue() *BinarySearchTreeNode {
    // 右子树为空，表面已经是最右的节点了，该值就是最大值
    if node.Right == nil {
        return node
    }

    // 一直右子树递归
    return node.Right.FindMaxValue()
}

// 查找指定节点
func (tree *BinarySearchTree) Find(value int64) *BinarySearchTreeNode {
    if tree.Root == nil {
        // 如果是空树，返回空
        return nil
    }

    return tree.Root.Find(value)
}

func (node *BinarySearchTreeNode) Find(value int64) *BinarySearchTreeNode {
    if value == node.Value {
        // 如果该节点刚刚等于该值，那么返回该节点
        return node
    } else if value < node.Value {
        // 如果查找的值小于节点值，从节点的左子树开始找
        if node.Left == nil {
            // 左子树为空，表示找不到该值了，返回nil
            return nil
        }
        return node.Left.Find(value)
    } else {
        // 如果查找的值大于节点值，从节点的右子树开始找
        if node.Right == nil {
            // 右子树为空，表示找不到该值了，返回nil
            return nil
        }
        return node.Right.Find(value)
    }
}

// 查找指定节点的父亲
func (tree *BinarySearchTree) FindParent(value int64) *BinarySearchTreeNode {
    if tree.Root == nil {
        // 如果是空树，返回空
        return nil
    }

    // 如果根节点等于该值，根节点其没有父节点，返回nil
    if tree.Root.Value == value {
        return nil
    }
    return tree.Root.FindParent(value)
}

func (node *BinarySearchTreeNode) FindParent(value int64) *BinarySearchTreeNode {
    // 外层没有值相等的判定，因为在内层已经判定完毕后返回父亲节点。

    if value < node.Value {
        // 如果查找的值小于节点值，从节点的左子树开始找
        leftTree := node.Left
        if leftTree == nil {
            // 左子树为空，表示找不到该值了，返回nil
            return nil
        }

        // 左子树的根节点的值刚好等于该值，那么父亲就是现在的node，返回
        if leftTree.Value == value {
            return node
        } else {
            return leftTree.FindParent(value)
        }
    } else {
        // 如果查找的值大于节点值，从节点的右子树开始找
        rightTree := node.Right
        if rightTree == nil {
            // 右子树为空，表示找不到该值了，返回nil
            return nil
        }

        // 右子树的根节点的值刚好等于该值，那么父亲就是现在的node，返回
        if rightTree.Value == value {
            return node
        } else {
            return rightTree.FindParent(value)
        }
    }
}

// 删除指定的元素
func (tree *BinarySearchTree) Delete(value int64) {
    if tree.Root == nil {
        // 如果是空树，直接返回
        return
    }

    // 查找该值是否存在
    node := tree.Root.Find(value)
    if node == nil {
        // 不存在该值，直接返回
        return
    }

    // 查找该值的父亲节点
    parent := tree.Root.FindParent(value)

    // 第一种情况，删除的是根节点，且根节点没有儿子
    if parent == nil && node.Left == nil && node.Right == nil {
        // 置空后直接返回
        tree.Root = nil
        return
    } else if node.Left == nil && node.Right == nil {
        //  第二种情况，删除的节点有父亲节点，但没有子树

        // 如果删除的是节点是父亲的左儿子，直接将该值删除即可
        if parent.Left != nil && value == parent.Left.Value {
            parent.Left = nil
        } else {
            // 删除的原来是父亲的右儿子，直接将该值删除即可
            parent.Right = nil
        }
        return
    } else if node.Left != nil && node.Right != nil {
        // 第三种情况，删除的节点下有两个子树，因为右子树的值都比左子树大，那么用右子树中的最小元素来替换删除的节点，这时二叉查找树的性质又满足了。

        // 找右子树中最小的值，一直往右子树的左边找
        minNode := node.Right
        for minNode.Left != nil {
            minNode = minNode.Left
        }
        // 把最小的节点删掉
        tree.Delete(minNode.Value)

        // 最小值的节点替换被删除节点
        node.Value = minNode.Value
        node.Times = minNode.Times
    } else {
        // 第四种情况，只有一个子树，那么该子树直接替换被删除的节点即可

        // 父亲为空，表示删除的是根节点，替换树根
        if parent == nil {
            if node.Left != nil {
                tree.Root = node.Left
            } else {
                tree.Root = node.Right
            }
            return
        }
        // 左子树不为空
        if node.Left != nil {
            // 如果删除的是节点是父亲的左儿子，让删除的节点的左子树接班
            if parent.Left != nil && value == parent.Left.Value {
                parent.Left = node.Left
            } else {
                parent.Right = node.Left
            }
        } else {
            // 如果删除的是节点是父亲的左儿子，让删除的节点的右子树接班
            if parent.Left != nil && value == parent.Left.Value {
                parent.Left = node.Right
            } else {
                parent.Right = node.Right
            }
        }
    }
}

// 中序遍历
func (tree *BinarySearchTree) MidOrder() {
    tree.Root.MidOrder()
}

func (node *BinarySearchTreeNode) MidOrder() {
    if node == nil {
        return
    }

    // 先打印左子树
    node.Left.MidOrder()

    // 按照次数打印根节点
    for i := 0; i <= int(node.Times); i++ {
        fmt.Println(node.Value)
    }

    // 打印右子树
    node.Right.MidOrder()
}

func main() {
    values := []int64{3, 6, 8, 20, 9, 2, 6, 8, 9, 3, 5, 40, 7, 9, 13, 6, 8}

    // 初始化二叉查找树并添加元素
    tree := NewBinarySearchTree()
    for _, v := range values {
        tree.Add(v)
    }

    // 找到最大值或最小值的节点
    fmt.Println("find min value:", tree.FindMinValue())
    fmt.Println("find max value:", tree.FindMaxValue())

    // 查找不存在的99
    node := tree.Find(99)
    if node != nil {
        fmt.Println("find it 99!")
    } else {
        fmt.Println("not find it 99!")
    }

    // 查找存在的9
    node = tree.Find(9)
    if node != nil {
        fmt.Println("find it 9!")
    } else {
        fmt.Println("not find it 9!")
    }

    // 删除存在的9后，再查找9
    tree.Delete(9)
    node = tree.Find(9)
    if node != nil {
        fmt.Println("find it 9!")
    } else {
        fmt.Println("not find it 9!")
    }

    // 中序遍历，实现排序
    tree.MidOrder()
}

プログラムを実行した後の結果：

find min value: &{2 0 <nil> <nil>}
find max value: &{40 0 <nil> <nil>}
not find it 99!
find it 9!
not find it 9!
2
3
3
5
6
6
6
7
8
8
8
13
20
40

8.まとめ

バイナリサーチツリーは、リンクリストに縮退したり、非常にバランスのとれたバイナリツリーになる場合があります。要素の検索、追加、削除の時間の複雑さは、ツリーの高さに依存しますh。

二分木が一杯になると、ツリーの高さは、この時点でツリーノードの数、最小でn、高さhの関係は以下の通りであります：h = log(n)。
場合バイナリツリーリスト、このときのツリーノードの数nと高さhの関係は次のとおりh = n。

二分探索木の効率は、その二分探索の特性に由来します。時間の複雑さは二分木の高さにあるため、探索、追加、削除の時間の複雑さの範囲はlog(n)~nです。

二分探索木の探索速度を向上させるためには、木の高さをできるだけ低くする必要があります。AVLツリーと赤黒ツリーは、比較的バランスのとれた二分探索ツリーです。特別な回転バランシング操作により、ツリーの高さが大幅に削減されます。これらは検索効率が高く、追加、削除、および検索操作の平均時間の複雑さはすべてlog(n)であり、さまざまなプログラムでよく使用されます。

二分探索木は、後で学習する赤黒木である高度なデータ構造AVLツリーの基礎です。

シリーズ記事エントリー

私は、スター陳思い、私が個人的に書かれているようこそ（Golangが達成）のデータ構造とアルゴリズムの記事で始まる、より親しみやすいGitBookを読むために。

データ構造とアルゴリズム（Golang実装）（27）検索アルゴリズム-バイナリ検索ツリー