1. Vectores
- Norma L0: el número de elementos distintos de cero en el vector, también llamada norma 0
- Norma L1: Es la suma de valores absolutos, también llamada norma o 1 norma.
- Norma L2: módulo en el sentido habitual, también llamado norma 2
- norma p: es decir, pp del valor absoluto del elemento vectorial1 / p 1/pde la suma de p potencias1/ p de potencia
- ∞ \infty∞ norma: tomar el valor máximo del vector
- − ∞ -\infty− ∞ norma: tomar el valor mínimo del vector
Supongamos que hay un vector x = ( x 1 , x 2 , … , xn ) T x = (x_1,x_2,\dots,x_n)^TX=( x1,X2,…,Xnorte)T , la norma del vector es:
∣ ∣ x ∣ ∣ 1 = ∣ x 1 ∣ + ∣ x 2 ∣ + ⋯ + ∣ xn ∣ ||x||_1 = |x_1| + |x_2| + \dots + | x_n |∣∣ x ∣ ∣1=∣x _1∣+∣x _2∣+⋯+∣x _norte∣
∣ ∣ x ∣ ∣ 2 = ( ∣ x 1 ∣ + ∣ x 2 ∣ + ⋯ + ∣ xn ∣ ) 1 2 ||x||_2 = (|x_1| + |x_2| + \dots + |x_n|)^ {\frac{1}{2}}∣∣ x ∣ ∣2=( ∣ x1∣+∣x _2∣+⋯+∣x _norte∣ )21
∣ ∣ x ∣ ∣ p = ( ∣ x 1 ∣ + ∣ x 2 ∣ + ⋯ + ∣ xn ∣ ) 1 p ||x||_p = (|x_1| + |x_2| + \dots + |x_n|)^ {\frac{1}{p}}∣∣ x ∣ ∣p=( ∣ x1∣+∣x _2∣+⋯+∣x _norte∣ )pag1
∣ ∣ x ∣ ∣ ∞ = max { ∣ x 1 ∣ + ∣ x 2 ∣ + ⋯ + ∣ xn ∣ } ||x||_{\infty} = \max\{|x_1| + |x_2| + \puntos + |x_n|\}∣∣ x ∣ ∣∞=máximo { ∣ x1∣+∣x _2∣+⋯+∣x _norte∣ }
∣ ∣ x ∣ ∣ − ∞ = min { ∣ x 1 ∣ + ∣ x 2 ∣ + ⋯ + ∣ xn ∣ } ||x||_{-\infty} = \min\{|x_1| + |x_2| + \puntos + |x_n|\}∣∣ x ∣ ∣− ∞=mín { ∣ x1∣+∣x _2∣+⋯+∣x _norte∣ }
2. Matriz
Existen principalmente tres tipos de normas matriciales. Recuerde, ¡los tres tipos de normas son diferentes! !
2.1 Norma inducida
También llamada norma de operador, se define que la matriz A se ubica en el espacio matricial R m × n \mathbb{R}^{m\times n}Rm × n上
∣ ∣ x ∣ ∣ = máx { ∣ ∣ A x ∣ ∣ ; x ∈ R n , ∣ ∣ x ∣ ∣ = 1 } = max { ∣ ∣ A x ∣ ∣ ∣ ∣ x ∣ ∣ , x ∈ R n , x ≠ 0 } ||x||= \max\{||Ax ||;x\in \mathbb{R}^n,||x||=1 \} = max\left\{ \frac{||Ax||}{||x||}, x\in \ mathbb{R}^n,x\ne 0 \right\}∣∣ x ∣∣=máx {
∣∣ A x ∣∣ ;X∈Rnorte ,∣∣ x ∣∣=1 }=máximo _{
∣∣ x ∣∣∣∣ A x ∣∣,X∈Rnorte ,X=0 }
La norma inducida comúnmente utilizada es la norma p, también llamadaL p L_plp范数
∣ ∣ A ∣ ∣ p = max { ∣ ∣ A x ∣ ∣ p ∣ ∣ x ∣ ∣ p , x ≠ 0 } ||A||_p = max\left\{ \frac{||Ax||_p }{||x||_p} ,x\ne 0 \right\}∣∣A∣∣ _ _ _p=máximo _{
∣∣ x ∣ ∣p∣∣ A x ∣ ∣p,X=0 }
0 norma: el número de elementos distintos de cero en la matriz.
1 norma también se llama norma de columna
∣ ∣ A ∣ ∣ 1 = max ∑ i = 1 m ∣ aij ∣ , 1 ≤ j ≤ n ||A||_1 = \max \sum_{i=1}^m |a_ {ij}|,1 \le j \le n∣∣A∣∣ _ _ _1=máximoyo = 1∑m∣ unyo∣ ,1≤j≤La
norma n-infinito también se llama norma de fila
∣ ∣ A ∣ ∣ ∞ = max ∑ j = 1 n ∣ aij ∣ , 1 ≤ i ≤ n ||A||_\infty = \max \sum_{j= 1 }^n |a_{ij}|,1 \le i \le n∣∣A∣∣ _ _ _∞=máximoj = 1∑norte∣ unyo∣ ,1≤i≤La norma n
2 también se llama norma espectral. La norma espectral de la matriz es el valor singular máximo de la matriz
∣ ∣ A ∣ ∣ spec = ∣ ∣ A ∣ ∣ 2 = σ max ( A ) = λ max ( ATA ) ||A ||_{spec} = ||A||_{2} = \sigma_{max}(A) = \sqrt{\lambda_{max}(A^TA)}∣∣A∣∣ _ _ _especificaciones _ _=∣∣A∣∣ _ _ _2=pagmáx _( Un )=yomáx _( UnTA )_
σ máx \sigma_{max}pagmáx _Significa encontrar el valor singular máximo de la matriz, especificación significa espectro.
2.2 Norma del elemento
Sea m × nm \times nmetro×La matriz n primero se organiza enmn × 1 mn \times 1Minnesota×1 vector, y luego use la definición de norma del vector para obtener la norma de la matriz
∣ ∣ A ∣ ∣ P = ( ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n ∣ aij ∣ p ) 1 p ||A||_P = \ left( \sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n |a_{ij}|^p \right)^\frac{1}{p}∣∣A∣∣ _ _ _P=(yo = 1∑mj = 1∑norte∣ unyo∣pag )pag1
1 norma también se llama norma suma o norma L1
∣ ∣ A ∣ ∣ 1 = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n ∣ aij ∣ ||A||_1 = \sum_{i=1}^m\ sum_{j =1}^n |a_{ij}|∣∣A∣∣ _ _ _1=yo = 1∑mj = 1∑norte∣ unyoLa norma ∣
2 también se llama norma Forbenius∣
∣ A ∣ ∣ F = ∣ ∣ A ∣ ∣ 2 = ( ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n ∣ aij ∣ 2 ) 1 2 = tr ( AHA ) ||A || _F = ||A||_2 = \left( \sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2 \right)^\frac{1}{ 2} = \sqrt{tr({A^HA})}∣∣A∣∣ _ _ _F=∣∣A∣∣ _ _ _2=(yo = 1∑mj = 1∑norte∣ unyo∣2 )21=t r ( AH A)
∞ \inftyLa norma ∞ también se llama norma máxima
∣ ∣ A ∣ ∣ p = max { ∣ aij ∣ } ||A||_p = \max\{ |a_{ij}| \}∣∣A∣∣ _ _ _p=máximo {
∣ unyo∣ }
2.3 Norma Schatten
Usando la norma definida por los valores singulares de la matriz, permita que los valores singulares de la matriz formen un vector σ = [ σ 1 σ 2 … σ k ] \sigma = \begin{bmatrix} \sigma_1 & \sigma_2 & \puntos & \sigma_k \end {bmatrix}pag=[pag1pag2…pagk] ,k = min ( m , n ) k=\min(m,n)k=mín ( m ,norte )
p
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ p = ∣ ∣ σ ∣ ∣ p = ( ∑ i = 1 k σ ip ) 1 p ||A||_p = ||\sigma||_p = (\sum_{i =1}^ k \sigma_i^{p})^\frac{1}{p}∣∣A∣∣ _ _ _p=∣∣ σ ∣ ∣p=(yo = 1∑kpagip)pag1
p=1, también llamada norma nuclear, es la suma de los valores singulares de la matriz
∣ ∣ A ∣ ∣ 1 = ∑ i = 1 k σ i = tr ( AHA ) ||A||_1 =\sum_ {i=1} ^k \sigma_i = tr(\sqrt{A^HA})∣∣A∣∣ _ _ _1=yo = 1∑kpagyo=t r (Aha _)
p=2, la norma de Schattern es equivalente a Frobenius
∣ ∣ A ∣ ∣ 1 = ( ∑ i = 1 k σ i 2 ) 1 2 = tr ( AHA ) = ( ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n ∣ aij ∣ 2 ) 1 2 ||A||_1 = (\sum_{i=1}^k \sigma_i^{2})^\frac{1}{2} = \sqrt{tr(A^HA)} = \left(\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2 \right)^\frac{1}{2}∣∣A∣∣ _ _ _1=(yo = 1∑kpagi2)21=t r ( AH A)=(yo = 1∑mj = 1∑norte∣ unyo∣2 )21
p= ∞ \infty∞ , la norma de Schattern es la misma que la norma espectral
∣ ∣ A ∣ ∣ ∞ = σ max ( A ) ||A||_\infty = \sigma_{max}(A)∣∣A∣∣ _ _ _∞=pagmáx _( Un )