Diferencia entre sistema lineal y sistema no lineal Comparar la diferencia entre términos similares
Cuando leemos artículos, a menudo nos encontramos con estos dos sistemas, sistemas lineales y sistemas no lineales.¿Cuál es la diferencia entre los dos?
Lineal se refiere a la relación proporcional y lineal entre cantidades, que representa un movimiento regular y uniforme en el espacio y el tiempo; no lineal se refiere a la relación no proporcional y no lineal que representa un movimiento irregular y cambios repentinos.
¡Al juzgar si es un sistema lineal, depende principalmente del principio de superposición (Superposición)!
La ecuación del sistema es x ˙ = f ( x ) \dot x = f(x)X˙=f ( x ) six 1 , x 2 x_1,x_2X1,X2es la solución de la ecuación, x 3 = k 1 x 1 + k 2 x 2 ( k 1 , k 2 ∈ R ) x_3 = k_1 x_1 + k_2 x_2(k_1,k_2 \in \R)X3=k1X1+k2X2( k1,k2∈R ) , yx 3 x_3X3es también la solución de la ecuación, el sistema se ajusta al principio de superposición y es un sistema lineal.
Por ejemplo:
x ¨ + 2 x ˙ + 2 x = 0 (sistema lineal) x ¨ + 2 x ˙ + 2 x 2 = 0 (sistema no lineal) x ¨ + 2 sin ( x ˙ ) + 2 x = 0 (sistema no lineal system) \ddot x + 2 \dot x + \sqrt{2} x = 0 (sistema lineal) \\ \ddot x + 2 \dot x + \sqrt{2} x ^ 2 = 0 (sistema no lineal) \\ \ddot x + 2 sin(\dot x) + \sqrt{2} x = 0 (sistema no lineal) \\X¨+2X˙+2X=0 ( sistema lineal )X¨+2X˙+2X2=0 ( sistema no lineal )X¨+2s en ( _X˙ )+2X=0 ( sistema no lineal )
método de linealización
泰勒级数（Serie de Taylor）
f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) 1 ! ( X - X 0 ) + F ′ ′ ( X 0 ) 2 ! ( X - X 0 ) 2 + . . . + fn ( x 0 ) norte ! ( x − x 0 ) nf(x) = f(x_0) + \frac{f'(x_0)}{1 !}(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2 !}( x-x_0)^2 + ...+\frac{f^{n}(x_0)}{n !}(x-x_0)^nf ( x )=f ( x0)+1 !F′ (X0)( X−X0)+2 !F′′ (X0)( X−X0)2+...+n !Fn (x0)( X−X0)nif
x− x 0 → 0 x-x_0 \to 0X−X0→0 , 则( x − x 0 ) 2 → 0 (x-x_0)^2 \to 0( X−X0)2→0 ,( x - x 0 ) norte → 0 (x-x_0)^n \to 0( X−X0)norte→0。f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) = k 2 x + bf(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) =k_2x+bf ( x )=f ( x0)+F′ (X0) ( X−X0)=k2X+b , dondek2 = f'(x0), b = f(x0) − f'(x0)x0 k_2 = f'(x_0),b = f(x_0) - f'(x_0)x_0k2=F′ (X0) ,b=f ( x0)−F′ (X0) x0。
La linealización es la linealización alrededor de un punto determinado, no la linealización global.
Sistema unidimensional, por ejemplo.
x ¨ + x ˙ + 1 x = 1 \ddot x + \dot x + \frac{1}{x} = 1X¨+X˙+X1=1
Linealizar alrededor del punto de equilibrio (punto fijo).
x ¨ = x ˙ = 0 ⇒ 1 x = 1 ⇒ x 0 = 1 \ddot x = \dot x = 0 \Rightarrow \frac{1}{x} = 1 \Rightarrow x_0 = 1X¨=X˙=0⇒X1=1⇒X0=1
entonces el punto de equilibrio esx 0 = 1 x_0 = 1X0=1 . enx 0 x_0X0Cerca de x δ = x 0 + xd x_{\delta} = x_0 + x_dXd=X0+Xre， 所什有
x ¨ δ + x ˙ δ + 1 x δ = 1 \ddot x_{\delta} + \dot x_{\delta} + \frac{1}{x_{\delta} } = 1X¨d+X˙d+Xd1=1
Usando la serie de Taylor anterior, primero linealiza1 x δ \frac{1}{x_\delta}Xd1
f ( x δ ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x δ − x 0 ) f(x_{\delta}) = f(x_{0}) + f'(x_0)(x_{ \delta}-x_0)f ( xd)=f ( x0)+F′ (X0) ( Xd−X0)
1 x δ = 1 x 0 + ( − 1 x 0 2 ) ( x δ − x 0 ) = 1 x 0 − xdx 0 2 = 1 − xd \frac{1}{x_\delta} = \frac{1} {x_0} + (-\frac{1}{x_0^2})(x_\delta - x_0) = \frac{1}{x_0} -\frac{x_d}{x_0^2} = 1-x_dXd1=X01+( -X021) ( Xd−X0)=X01−X02Xre=1−Xre
{ x ¨ δ = x ¨ 0 + x ¨ dx ˙ δ = x ˙ 0 + x ˙ re 1 x δ = 1 − xd ⇒ x ¨ 0 + x ¨ re + x ˙ 0 + x ˙ re + 1 − xd = 1 ⇒ x ¨ re + x ˙ re − xd = 0 \begin{casos} \ddot x_{\delta} = \ddot x_{0} + \ddot x_{d} \\ \dot x_{\delta} = \ punto x_{0} + \punto x_{d} \\ \frac{1}{x_{\delta}} = 1 - x_d \\ \end{casos} \Rightarrow \ddot x_{0} + \ddot x_{ d} + \dot x_{0} + \dot x_{d} + 1 - x_d = 1 \Rightarrow \ddot x_{d} + \dot x_{d} - x_d = 0⎩ ⎨ ⎧X¨d=X¨0+X¨reX˙d=X˙0+X˙reXd1=1−Xre⇒X¨0+X¨re+X˙0+X˙re+1−Xre=1⇒X¨re+X˙re−Xre=0
sistema 2D, por ejemplo
En el espacio 2D, cerca del punto de equilibrio
{ X ˙ 1 = F 1 ( X 1 , X 2 ) X ˙ 2 = F 2 ( X 1 , X 2 ) ⇒ [ X ˙ 1 dx ˙ 2 re ] = [ ∂ F 1 X 1 ∂ F 1 X 2 ∂ f 2 x 1 ∂ f 2 x 2 ] x = x 0 [ x 1 dx 2 d ] \begin{casos} \dot x_1 = f_1 (x_1,x_2) \\ \dot x_2 = f_2 (x_1,x_2) \\ \end{cases} \Rightarrow \begin{bmatrix} \dot x_{1d} \\ \dot x_{2d} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\parcial f_1}{x_1} & \frac {\parcial f_1}{x_2} \\ \frac{\parcial f_2}{x_1} & \frac{\parcial f_2}{x_2} \\ \end{bmatrix} _ {x = x_0} \begin{bmatrix} x_ {1d} \\ x_{2d} \end{bmatriz}{ X˙1=F1( X1,X2)X˙2=F2( X1,X2)⇒[X˙1 díaX˙2 días]=[X1∂ f1X1∂ f2X2∂ f1X2∂ f2]x = x0[X1 díaX2 días]
x ¨ + x ˙ + 1 x = 1 \ddot x + \dot x + \frac{1}{x} = 1X¨+X˙+X1=1
sea x 1 = x , x 2 = x ˙ x_1 = x,x_2 = \dot xX1=x ,X2=X˙ , que tiene
{ x ˙ 1 = x 2 x ˙ 2 = x ¨ = 1 − x ˙ − 1 x = 1 − x 2 − 1 x 1 \begin{cases} \dot x_1 = x_2 \\ \dot x_2 = \ddot x = 1- \dot x - \frac{1}{x} = 1- x_2 - \frac{1}{x_1} \end{casos}{ X˙1=X2X˙2=X¨=1−X˙−X1=1−X2−X11
Encuentre el punto de equilibrio, sea x ˙ 1 = 0 , x ˙ 2 = 0 \dot x_1 = 0,\dot x_2 = 0X˙1=0 ,X˙2=0 , entonces hay un punto de equilibriox 10 = 1 , x 20 = 0 x_{10} = 1,x_{20} = 0X10=1 ,X20=0 ,
[ X ˙ 1 dx ˙ 2 re ] = [ 0 1 - ( - 1 X 1 2 ) - 1 ] X 0 [ X 1 dx 2 re ] = [ 0 1 1 - 1 ] [ X 1 dx 2 re ] \begin {bmatrix} \dot x_{1d} \\ \dot x_{2d} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -(-\frac{1}{x_1^2}) & -1 \\ \end{bmatrix} _ {x_0} \begin{bmatrix} x_{1d} \\ x_{2d} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \\ \end{bmatriz} \begin{bmatriz} x_{1d} \\ x_{2d} \end{bmatriz}[X˙1 díaX˙2 días]=[0− ( −X121)1− 1]X0[X1 díaX2 días]=[011− 1][X1 díaX2 días]
即
{ x ˙ 1 d = x 2 dx ˙ 2 d = x 1 d − x 2 d \begin{casos} \dot x_{1d} = x_{2d} \\ \dot x_{2d} = x_{1d } - x_{2d} \end{casos}{
X˙1 día=X2 díasX˙2 días=X1 día−X2 días
De hecho, solo necesitamos la parte inferior
x ˙ 2 d = x 1 d − x 2 d ⇒ x ¨ d = xd − x ˙ d ⇒ x ¨ d + x ˙ d − xd = 0 \dot x_{2d} = x_{ 1d} - x_{2d} \Rightarrow \ddot x_d = x_d - \dot x_d \Rightarrow \ddot x_d + \dot x_d - x_d = 0X˙2 días=X1 día−X2 días⇒X¨re=Xre−X˙re⇒X¨re+X˙re−Xre=0
es lo mismo que la ecuación para el sistema unidimensional anterior.
Resumir
Fórmula de linealización, x − x 0 → 0 x-x_0 \to 0X−X0→0
f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)f ( x )=f ( x0)+F′ (X0) ( X−X0)