Densidad espectral y precisión dinámica de sistemas estocásticos lineales
1. Densidad espectral
La densidad espectral es la función de correlación R ( t ) R(t)Transformada de Fourierde R ( t ) :
S ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ R ( τ ) e − j ω τ d τ (1) S(\omega) = \int_{-\infty} ^\infty R ( \ tau) e^{- j \omega \tau} {\rm d} \tau \tag{1}S ( ω )=∫− ∞∞R ( τ ) mi− jω τ dτ( 1 ) Obviamente, la función de correlación es la transformada de Fourier inversa de la densidad espectral:
R ( τ ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ S ( ω ) ej ω τ d ω (2) R(\tau) = \frac {1}{2\pi} \int_{-\infty} ^\infty S(\omega) e^{ j \omega \tau} {\rm d} \omega \tag{2}R ( τ )=2 p.m.1∫− ∞∞S ( ω ) mijω t dω( 2 ) reemplazar− j ω τ = cos ω τ − j sin ω τ e^{- j \omega \tau} = \cos \omega \tau - j \sin \omega \taumi− jωt _=porqueoh t−jpecadoω τ , y tenga en cuenta que la función imparsin ω τ \sin \omega \taupecadoω τ de− ∞ -\infty− ∞ a+ ∞ + \inftyLa integral de + ∞ es 0, y la función parcos ω τ \cos \omega \tauporqueω τ的simetría integral,则式(1) puede ser化的：
S ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ R ( τ ) cos ω τ d τ − j ∫ − ∞ ∞ R ( τ ) sin ω τ d τ = 2 ∫ 0 ∞ R ( τ ) porque ω τ d τ (3) S(\omega) = \int_{-\infty} ^\infty R( \tau) \cos \omega \tau {\rm d } \tau - j \int_{-\infty} ^\infty R( \tau) \sin \omega \tau {\rm d} \tau = 2\int_{0} ^\infty R( \tau) \cos \ omega \tau {\rm d} \tau \tag{3}S ( ω )=∫− ∞∞R ( τ )porqueot dt _ _−j∫− ∞∞R ( τ )pecadoot dt _ _=2∫0∞R ( τ )porqueot dt _ _( 3 ) se puede ver, función de densidad:
S ( − ω ) = 2 ∫ 0 ∞ R ( τ ) cos ( − ω τ ) d τ = S ( ω ), R ( τ ) = 1 π ∫ 0 ∞ S ( ω ) porque ω τ d ω (4) S(-\omega) = 2\int_{0} ^\infty R( \tau) \cos (-\omega \tau) {\rm d } \tau = S(\omega), \\ R(\tau) = \frac{1}{\pi} \int_{0} ^\infty S( \omega) \cos \omega \tau {\rm d } \omega \etiqueta{4}S ( − ω )=2∫0∞R ( τ )porque ( − ω τ ) re τ=S ( ω ) ,R ( τ )=Pi1∫0∞S ( ω )porqueo t hacer o( 4 )电影均方差的：
x 2 ‾ = D x = R x ( 0 ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ S ( ω ) ej ω τ d ω ∣ τ = 0 = 1 π ∫ 0 ∞ S ( ω ) d ω (5) \overline{x^2} = D_x = R_x (0) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty} ^\infty S(\omega) e^{ j \omega \tau} {\rm d} \omega \bigg\rvert_{\tau = 0} = \frac{1}{\pi} \int_{0} ^\infty S( \omega) {\rm d} \omega\etiqueta{5}X2=Dx=Rx( 0 )=2 p.m.1∫− ∞∞S ( ω ) mijω t dω
τ = 0=Pi1∫0∞S ( ω ) re ω( 5 ) En el sentido físico,S ( ω ) S(\omega)S ( ω ) representa diferentes frecuenciasω \omegaLa distribución de potencia bajo ω , mientras que su integral representa la potencia promedio.
Repaso R ( τ ) R(\tau)R ( τ )的公式：
R ( τ ) = lim T → ∞ 1 2 T ∫ − TT x ( t ) x ( t + τ ) dt R(\tau) = \lim_{T \rightarrow \infty} \ frac{1}{2T} \int_{-T} ^T x(t) x(t + \tau) {\rm d} tR ( τ )=T → ∞lím2T_ _1∫−T _tx ( t ) x ( t+τ ) d t代入头发式(1)：
S ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ R ( τ ) e − j ω τ d τ = S ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ e − j ω τ d τ lim T → ∞ 1 2 T ∫ − TT x ( t ) x ( t + τ ) dt S(\omega) = \int_{-\infty} ^\infty R( \tau) e^{- j \omega \tau } {\rm d} \tau = S(\omega) = \int_{-\infty} ^\infty e^{- j \omega \tau} {\rm d} \tau \lim_{T \rightarrow \infty } \frac{1}{2T} \int_{-T} ^T x(t) x(t + \tau) {\rm d} tS ( ω )=∫− ∞∞R ( τ ) mi− jω τ dτ=S ( ω )=∫− ∞∞mi− jω τ dτT → ∞lím2T_ _1∫−T _tx ( t ) x ( t+τ ) d t任θ = t + τ \theta = t + \taui=t+τ，则τ = θ − t , d τ = d θ \tau = \theta - t, {\rm d} \tau = {\rm d} \thetat=i−t ,re τ=d θ, entonces
S ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ e − j ω τ d τ lim T → ∞ 1 2 T ∫ − TT x ( t ) x ( t + τ ) dt = ∫ − ∞ ∞ e − j ω θ ej ω td θ lim T → ∞ 1 2 T ∫ − TT x ( t ) x ( θ ) dt = ∫ − ∞ ∞ x ( θ ) e − j ω θ d θ lim T → ∞ 1 2 T ∫ − TT x ( t ) ej ω tdt = lim T → ∞ 1 2 T [ ∫ − ∞ ∞ x ( θ ) e − j ω θ d θ ∫ − TT x ( t ) ej ω tdt ] = lim T → ∞ 1 2 TX ( j ω ) X ( − j ω ) \begin{aligned} S(\omega) &= \int_{-\infty} ^\infty e^{- j \omega \tau} {\rm d} \tau \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T} ^T x(t) x(t + \tau) {\rm d} t \\ &= \int_{- \infty} ^\infty e^{- j \omega \theta} e^{ j \omega t} {\rm d} \theta \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2T} \int_ {-T} ^T x(t) x(\theta) {\rm d} t \\ &= \int_{-\infty} ^\infty x(\theta) e^{- j \omega \theta} {\rm d} \theta \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T} ^T x(t) e^{ j \omega t} {\rmd} t \\ &= \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2T} \left[ \int_{-\infty} ^\infty x(\theta) e^{- j \omega \ theta} {\rm d} \theta \int_{-T} ^T x(t) e^{ j \omega t} {\rm d} t \right] \\ &= \lim_{T \rightarrow \infty } \frac{1}{2T} X( j \omega) X \left( -j\omega \right) \end{aligned}S ( ω )=∫− ∞∞mi− jω τ dτT → ∞lím2T_ _1∫−T _tx ( t ) x ( t+τ ) dt _=∫− ∞∞mi− jω θ mijωtdyo _ __T → ∞lím2T_ _1∫−T _tx ( t ) x ( θ ) d t=∫− ∞∞x ( θ ) mi− jω θ dθT → ∞lím2T_ _1∫−T _tx ( t ) ejωtdt _ __=T → ∞lím2T_ _1[ ∫− ∞∞x ( θ ) mi− jω θ dθ∫−T _tx ( t ) ejωtdt ] _ __=T → ∞lím2T_ _1X ( jω ) X( − jω )即：
S ( ω ) = lim T → ∞ 1 2 T ∣ X ( j ω ) ∣ 2 (6) S(\omega) = \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2T} \ izquierda | X(j\omega) \right|^2 \tag{6}S ( ω )=T → ∞lím2T_ _1∣ X ( jω ) _2( 6 )
Ejemplo: Sea la función de correlación R ( τ ) = e − α ∣ τ ∣ R(\tau) = e^{- \alpha \lvert \tau \rvert}R ( τ )=mi− α ∣ τ ∣ , dondeα > 0 \alpha > 0a>0 . pero
S x ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ e − α ∣ τ ∣ d τ = ∫ − ∞ 0 e α τ e − j ω τ d τ + ∫ 0 ∞ e − α τ e − j ω τ d τ = ∫ − ∞ 0 e ( α − j ω ) τ d τ + ∫ 0 ∞ e − ( α + j ω ) τ d τ = 1 α − j ω e α − j ω ∣ − ∞ 0 + − 1 α + j ω y α − j ω ∣ 0 ∞ = 1 α − j ω + 1 α + j ω = 2 α α 2 + ω 2 \begin {aligned} S_x (\omega) &= \int_{-\infty} ^\infty e^{- \alpha \lvert \tau \rvert} {\rm d} \tau \\ &= \int_{-\infty} ^0 e^{\alpha \tau } e^{-j \omega \tau } {\rm d} \tau + \int_{0} ^\infty e^{-\alpha \tau } e^{-j \omega \tau } {\rm d}\tau\&= \int_{ - \infty} ^0 e^{ \left( \alpha - j \omega \right) \tau } {\rm d} \tau + \int_{0} ^\infty e^{- \left( \alpha + j \omega \right) \tau} {\rm d} \tau \\ &= \frac{1}{\alpha-j\omega} e^{\alpha-j\omega}\bigg\rvert _{- \ infty} ^0 + \frac{-1}{\alpha + j \omega} e^{ \alpha - j \omega} \bigg\rvert _{0} ^\infty \\ &=\frac{1}{\alpha - j \omega} + \frac{1}{\alpha + j \omega} \\ &= \frac{2\alpha}{\alpha^2 + \omega^2} \ fin {alineado}Sx( oh )=∫− ∞∞mi− α ∣ τ ∣ dτ=∫− ∞0mien mi− jω τ dτ+∫0∞mi− en mi− jω τ dτ=∫− ∞0mi( a − jω ) τreτ+∫0∞mi− ( α + jω ) τ dτ=a−jω1mia − jω
− ∞0+a+jω− 1mia − jω
0∞=a−jω1+a+jω1=a2+Vaya22 un
Según la definición (1), es obvio que la expresión de la densidad del espectro cruzado
se puede obtener: S xu ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ R xu ( τ ) e − j ω τ d τ (7) S_ {xu} (\omega ) = \int_{-\infty} ^\infty R_{xu}( \tau) e^{- j \omega \tau} {\rm d} \tau \tag{7}Sxu( oh )=∫− ∞∞Rxu( t ) e− jω τ dτ( 7 )及
R xu ( τ ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ S xu ( ω ) ej ω τ d ω (8) R_{xu}(\tau) = \frac{1}{2\pi} \ int_{-\infty} ^\infty S_{xu}(\omega) e^{ j \omega \tau} {\rm d} \omega \tag{8}Rxu( t )=2 p.m.1∫− ∞∞Sxu( o ) ejω t dω( 8 )
2. Densidad espectral de una señal aleatoria a la salida de un sistema lineal
El terminal de salida xx se proporciona en la fórmula (3) de Notas de dinámica estadística (1) Transformación de señales aleatorias de sistemas dinámicos en el dominio del tiempo (para autorretención)Las funciones relevantes de x
se calculan de la siguiente manera: R x ( τ ) = ∫ − ∞ ∞ K ( λ ) d λ ∫ − ∞ ∞ R u ( τ + λ − η ) K ( η ) d η R_x (\tau) = \int_ {-\infty} ^\infty K(\lambda) {\rm d} \lambda \int_{-\infty} ^\infty R_u (\tau + \lambda - \eta) K(\eta) {\ rm d } \etaRx( t )=∫− ∞∞K ( λ ) re λ∫− ∞∞Rtu( t+yo−η ) K ( η ) d η Según la fórmula de definición (1) en este documento, el terminal de salidaxxx的长谱组合载
S x ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ e − j ω τ R x ( τ ) d τ = ∫ − ∞ ∞ e − j ω τ d τ ∫ − ∞ ∞ K ( λ ) d λ ∫ − ∞ ∞ R u ( τ + λ − η ) K ( η ) d η \begin{aligned} S_x(\omega) &= \int_{-\infty} ^\infty e^{- j \omega \tau } R_x( \tau) {\rm d} \tau \\ &= \int_{-\infty} ^\infty e^{- j \omega \tau} {\rm d} \tau \int_{-\infty } ^\infty K(\lambda) {\rm d} \lambda \int_{-\infty} ^\infty R_u (\tau + \lambda - \eta) K(\eta) {\rm d} \eta \ fin {alineado}Sx( oh )=∫− ∞∞mi− jωτR _ _x( t ) dt _=∫− ∞∞mi− jω τ dτ∫− ∞∞K ( λ ) re λ∫− ∞∞Rtu( t+yo−η ) K ( η ) re η令ξ = τ + λ − η \xi = \tau + \lambda - \etaX=t+yo−η，则d τ = d ξ {\rm d} \tau = {\rm d} \xire τ=d ξ, la fórmula anterior es
S x ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ e − j ω τ d τ ∫ − ∞ ∞ K ( λ ) d λ ∫ − ∞ ∞ R u ( τ + λ − η ) K ( η ) d η = ∫ − ∞ ∞ e − j ω ξ e − j ω η ej ω λ d ξ ∫ − ∞ ∞ K ( λ ) d λ ∫ − ∞ ∞ R u ( ξ ) K ( η ) d η = ∫ − ∞ ∞ e − j ω η K ( η ) d η ⏟ W ( j ω ) ∫ − ∞ ∞ ej ω λ K ( λ ) d λ ⏟ W ( − j ω ) ∫ − ∞ ∞ e − j ω ξ R u ( ξ ) d ξ ⏟ S u ( ω ) = W ( j ω ) W ( − j ω ) S u ( ω ) = ∣ W ( j ω ) ∣ 2 S u ( ω ) \begin{aligned} S_x(\omega) &= \int_ {-\infty} ^\infty e^{- j \omega \tau} {\rm d} \tau \int_{-\infty} ^\infty K(\lambda) {\rm d} \lambda \int_{ -\infty} ^\infty R_u (\tau + \lambda - \eta) K(\eta) {\rm d} \eta \\ &= \int_{-\infty} ^\infty e^{- j \ omega \xi} e^{- j \omega \eta} e^{ j \omega \lambda} {\rm d} \xi \int_{-\infty} ^\infty K(\lambda) {\rm d} \lambda \int_{-\infty} ^\infty R_u (\xi) K(\eta) {\rm d} \eta \\ &= \underbrace{ \int_{-\infty} ^\infty e^{- j\omega\eta} K(\eta) {\rm d} \eta}_{W(j \omega)} \underbrace{ \int_{-\infty} ^\infty e^{ j \omega \lambda} K(\ lambda) {\rm d} \lambda }_{W(-j \omega)} \underbrace{\int_{-\infty} ^\infty e^{- j \omega \xi} R_u (\xi) {\ rm d} \xi}_{S_u (\omega)} \\ &= W(j \omega) W(-j \omega) S_u (\omega) \\ &= \big\lvert W ( j\omega) \big\rvert^2 S_u (\omega) \end{alineado}Sx( oh )=∫− ∞∞mi− jω τ dτ∫− ∞∞K ( λ ) re λ∫− ∞∞Rtu( t+yo−h ) K ( h ) d h=∫− ∞∞mi− jω ξ mi− jω h mijôl dx∫− ∞∞K ( λ ) re λ∫− ∞∞Rtu( ξ ) K ( η ) re η=W ( jω )
∫− ∞∞mi− jω η K(η)reηW ( − jω )
∫− ∞∞mijωl K(λ)dλStu( oh )
∫− ∞∞mi− jω ξ Rtu( ξ ) re ξ=W ( jω ) W ( − jω ) Stu( oh )=
W ( jω )
2S _tu( oh )即
S x ( ω ) = ∣ W ( j ω ) ∣ 2 S u ( ω ) (9) S_x(\omega) = \big\lvert W ( j\omega) \big\rvert^2 S_u (\omega) \etiqueta{9}Sx( oh )=
W ( jω )
2S _tu( oh )( 9 ) De manera similar, la densidad del espectro cruzado
S xu ( ω ) = W ( j ω ) S u ( ω ) (10) S_{xu}(\omega) = W ( j\omega) S_u (\omega) \ etiqueta{10}Sxu( oh )=W ( jω ) Stu( oh )( 10 )
Obviamente, para intensidadN 2 = 1 N^2=1norte2=1 ruido blanco, esS u ( ω ) = 1 S_u (\omega) = 1Stu( oh )=1，则S xu ( ω ) = W ( j ω ) , S x ( ω ) = ∣ W ( j ω ) ∣ 2 S_{xu}(\omega) = W(j \omega), S_x(\omega) = \grande\lvert W ( j\omega) \grande\rvert^2Sxu( oh )=W ( jω ) ,Sx( oh )=
W ( jω )
2 , se puede ver que se puede cargar ruido blanco con una intensidad de 1 en el extremo de entrada y midiendo la densidad espectral S x ( ω ) S_x(\omega) enel extremo de salida.Sx( ω ) , se puede obtenerla función de transferenciaW ( jω ) tiene un fuerte valor de aplicación.