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La ecuación matricial tiene solución Teorema de juicio
Juicio de soluciones de ecuaciones lineales.
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Sistema de ecuaciones lineales A x = b A\bold{x}=\bold{b}una x=La condición necesaria y suficiente para que b tenga soluciónes su matriz de coeficientes A y su matriz aumentada( A , b ) (A,\bold{b})( Un ,b ) tienen el mismo rangoR ( A ) = R ( A , b ) R(A)=R(A,\bold{b})R ( A )=R ( A ,b ) ,记r = R ( A ) = R ( A , b ) r=R(A)=R(A,\bold{b})r=R ( A )=R ( A ,segundo ) :
- si r = nr=nr=n tiene un sistema de ecuaciones con solución única
- 若r < n r<{n}r<n ecuaciones tienen muchas soluciones
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Para ecuaciones lineales no homogéneas, es necesario calcular R ( A ), R ( A , b ) R(A),R(A,\bold{b})R ( A ) ,R ( A ,segundo )
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Para ecuaciones lineales homogéneas solo es necesario calcular R ( A ) R(A)R ( A )
Especialización: Juicio de Soluciones de Ecuaciones Lineales Homogéneas
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Este es un caso especial de un sistema de ecuaciones lineales que tiene una solución y el teorema se puede simplificar aún más.
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Un sistema de ecuaciones lineales homogéneas A x = 0 A\bold{x}=\bold{0}una x=El caso de 0 ecuaciones homogéneas se puede entender comob \bold{b}Los elementos en b son todos 0.
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Es fácil saber que A x = 0 A\bold{x}=\bold{0}una x=0 siempreR ( A ) = R ( A ‾ ) = r R(A)=R(\overline{A})=rR ( A )=R (A)=r , por lo que el sistema de ecuaciones lineales homogéneassiempre tiene solución;
- Sólo necesitamos calcular la matriz de coeficientes AA.Rango de A R ( A ) R(A)R ( A ) para obtenerrrr
- si r = nr=nr=n entonces el sistema de ecuaciones tiene solución única y essolución cero
- 若r < n r<nr<Un sistema de n ecuaciones tiene una solución distinta de cero.
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Las ecuaciones lineales homogéneas tienen un teorema de determinación de solución: ecuaciones lineales homogéneas A x = 0 A\bold{x}=\bold{0}una x=La condición necesaria y suficiente para que 0 tenga solución es R ( A ) ⩽ n R(A)\leqslant{n}R ( A )⩽norte ;
- La condición necesaria y suficiente para la solución cero (solución única) es R ( A ) = n R(A)=nR ( A )=norte
- La condición necesaria y suficiente para soluciones distintas de cero (soluciones múltiples) es R ( A ) < n R(A) < nR ( A )<norte ;
Generalización: Ecuación matricial AX = B AX=Buna X=B tiene una solución
- BB aquíB es una matriz de entradas constantes (ya no es una matriz aumentada de matrices de coeficientes)
- Teorema: Ecuación matricial AX = B AX=Buna X=La condición necesaria y suficiente para que B tenga solución es R ( A ) = R ( A , B ) R(A)=R(A,B)R ( A )=R ( A ,B )
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Tenga en cuenta aquí X , BX,Bx ,B no es necesariamente un vector, puede ser una matriz con varias filas y columnas.
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Consulte el código de línea Tongji v6@p76@Teorema 6
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probar
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A , X , BA,X,Bun ,x ,B son m × nm\times{n}respectivamentemetro×norte ,norte × ln\times{l}norte×l ,m × lm\times{l}metro×matriz de l
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Bloque X y B por columna:
- XXX =( x 1 , x 2 , ⋯ xl ) (\bold{x}_1,\bold{x}_2,\cdots \bold{x}_l)( x1,X2,⋯Xyo) ,
- CAMA Y DESAYUNOsegundo =( segundo 1 , segundo 2 , ⋯ bl ) (\bold{b}_1,\bold{b}_2,\cdots \bold{b}_l)( segundo1,b2,⋯byo)
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Ecuación matricial AX = B AX=Buna X=B es equivalentealll ecuacionesvectoriales(sistema de ecuaciones lineales)
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AX = A ( x 1 , x 2 , ⋯ xl ) AX=A(\bold{x}_1,\bold{x}_2,\cdots \bold{x}_l)una X=un ( x1,X2,⋯Xyo) =( A x 1 , A x 2 , ⋯ A xl ) (A\bold{x}_1,A\bold{x}_2,\cdots A\bold{x}_l)( A x1,una x2,⋯una xyo)
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Todo AX = B AX=Buna X=B等价于( A x 1 , A x 2 , ⋯ A xl ) (A\bold{x}_1,A\bold{x}_2,\cdots A\bold{x}_l)( A x1,una x2,⋯una xyo) =( segundo 1 , segundo 2 , ⋯ bl ) (\bold{b}_1,\bold{b}_2,\cdots \bold{b}_l)( segundo1,b2,⋯byo)
- 又等价于A xi = bi ( i = 1 , 2 , ⋯ , l ) A\bold{x}_i=\bold{b}_i(i=1,2,\cdots,l)una xyo=byo( yo=1 ,2 ,⋯,l ) un total delll ecuaciones lineales
- Lo que tienen en común estas ecuaciones lineales es la misma matriz de coeficientes AAA , que significa lallLos rangos de las matrices de coeficientes de las ecuaciones lineales l y las ecuaciones matriciales originalesson iguales, esta conclusión es muy importante
- La matriz de números de posición y la matriz de términos constantes son relativamente independientes
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设R ( A ) = r R(A)=rR ( A )=r yAALa matriz escalonada por filasde A esA ~ \widetilde{A}A ,则A ~ \widetilde{A}A hay rrr líneas distintas de cero, yA ~ \widetilde{A}A Después de m − r señormetro−línea r con todos ceros
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(A,B) (A,B)( Un ,B ) =( A , b 1 , b 2 , ⋯ bl ) (A,\bold{b}_1,\bold{b}_2,\cdots \bold{b}_l)( Un ,b1,b2,⋯byo) ∼ r \overset{r}{\sim}∼r ( A ~ , b 1 ~ , ⋯ , bl ~ ) {(\widetilde{A},\widetilde{\bold{b}_1},\cdots,\widetilde{\bold{b}_l})}(A ,b1 ,⋯,byo )
- donde A ~ \widetilde{A}A es AALa matriz en forma escalonadafilasde A
- Y el vector b 1 ~ , ⋯ , bl ~ \widetilde{\bold{b}_1},\cdots,\widetilde{\bold{b}_l}b1 ,⋯,byo 是b 1 , b 2 , ⋯ bl \bold{b}_1,\bold{b}_2,\cdots \bold{b}_lb1,b2,⋯byo与A ∼ r A ~ A\overset{r}{\sim}\widetilde{A}A∼rA El resultado después de realizar la misma transformación de fila, es decir bi ~ \widetilde{\bold{b}_i}byo no representa una matriz escalonada por filas
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será equivalente a la iiLa transformación elemental por filas de la matriz aumentada de i ecuaciones lineales es una matriz escalonada por filas:( A , bi ) (A,\bold{b}_i)( Un ,byo) ∼ r \overset{r}{\sim}∼r ( A ~ , bi ~ ) {(\widetilde{A},\widetilde{\bold{b}_i})}(A ,byo ) ,( i = 1 , 2 , ⋯ , l ) (i=1,2,\cdots,l)( yo=1 ,2 ,⋯,l )
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AX = B AX=Buna X=B有解⇔ \Leftrightarrow⇔ A xi = bi {A\bold{x}_i=\bold{b}_i}una xyo=byo ( i = 1 , 2 , ⋯ , l ) (i=1,2,\cdots,l)( yo=1 ,2 ,⋯,l ) tener una solución
- ⇔ \flecha izquierda derecha⇔ R ( A , bi ) {R(A,\bold{b}_i)}R ( A ,byo) =R ( A ) = r R(A)=rR ( A )=r ,( i = 1 , 2 , ⋯ , l ) (i=1,2,\cdots,l)( yo=1 ,2 ,⋯,l )
- ⇔ \flecha izquierda derecha⇔ bi ~ {\widetilde{\bold{b}_i}}byo
Después de m − r señormetro−r componentes (unidades) son todos 0( i = 1 , 2 , ⋯ , l ) (i=1,2,\cdots,l)( yo=1 ,2 ,⋯,l )
- Porque, si después de m − r mrmetro−Hay elementos distintos de cero en r elementos, lo que causaráque R ( A , bi ) > R ( A ) R(A,\bold{b}_i)>R(A)R ( A ,byo)>R ( A ) ,导致A xi = bi {A\bold{x}_i=\bold{b}_i}una xyo=byoSin solución
- Y su ex rrEl valor de r elementos no afectaráa R ( A , bi ) {R(A,\bold{b}_i)}R ( A ,byo) =R (A) R(A)No nos importa el establecimiento de R ( A )
- ⇔ \flecha izquierda derecha⇔矩阵( b 1 ~ , ⋯ , bl ~ ) (\widetilde{\bold{b}_1},\cdots,\widetilde{\bold{b}_l})(b1 ,⋯,byo ) después dem − r señormetro−La línea R es toda 0;
- ⇔ \flecha izquierda derecha⇔ matriz escalonada por filasD ~ \widetilde{D}D = ( A ~ , b 1 ~ , ⋯ , bl ~ ) (\widetilde{A},\widetilde{\bold{b}_1},\cdots,\widetilde{\bold{b}_l})(A ,b1 ,⋯,byo ) después dem − r señormetro−La línea R es toda 0
- ⇔ \flecha izquierda derecha⇔ R ( D ~ ) ⩽ m − ( m − r ) = r R(\widetilde{D})\leqslant{m-(mr)=r}R (D )⩽metro−( m−r )=r , y porqueD ~ \widetilde{D}D contiene A ~ \widetilde{A}A , entonces R ( A ~ ) = r ⩽ R ( D ~ ) R(\widetilde{A})=r\leqslant{R(\widetilde{D})}R (A )=r⩽R (D )
- ⇔ \flecha izquierda derecha⇔ R ( D ~ ) = r R(\widetilde{D})=rR (D )=r
- ⇔ R ( A , B ) = R ( A ) \Leftrightarrow{R(A,B)=R(A)}⇔R ( A ,B )=R ( A )
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Por lo tanto, si AX = B AX=Buna X=B有解,则R ( A , B ) = R ( A ) R(A,B)=R(A)R ( A ,B )=R ( A )
inferencia
- Joven AX = B AX = Buna X=B tiene una solución, entoncesR ( B ) ⩽ R ( A , B ) = R ( A ) R(B)\leqslant{R(A,B)}=R(A)R ( B )⩽R ( A ,B )=R ( A ) , entoncesR ( B ) ⩽ R ( A ) R(B)\leqslant{R(A)}R ( B )⩽R ( A ) , es decir,el rango de la matriz de términos constantes es menor que el rango de la matriz de coeficientes
- contra AX = B AX = Buna X=Ambos lados de B realizan la operación de transposición al mismo tiempo, hayXTAT = BTX^TA^T=B^TXTA _t=BT , de la misma maneraR ( BT ) ⩽ R ( XT ) R(B^T)\leqslant R(X^T)R ( Bt )⩽R ( XT ),即R ( B ) ⩽ R ( X ) R(B)\leqslant{R(X)}R ( B )⩽R ( X )
- Finalmente, R ( B ) ⩽ min ( R ( A ) , R ( X ) ) R(B)\leqslant{\min(R(A),R(X))}R ( B )⩽mín ( R ( A ) ,R ( X ))