El contenido de este artículo trata principalmente sobre el uso de MATLAB para calcular series infinitas y series de Taylor.

Tabla de contenido

1.2 función de suma simbólica

1.3 Usar MATLAB para resolver el ejemplo de series infinitas

2 series de Taylor

2.1 Definición de serie de Taylor:

2.2 función de Taylor

2.3 Usar MATLAB para resolver el ejemplo de series infinitas

1 serie infinita

1.1 Definición de serie infinita:

Las series infinitas son un método para estudiar la convergencia y el valor numérico de la suma de funciones numéricas ordenadas contables o infinitas. La teoría se basa en la serie numérica, y la serie numérica tiene la diferencia entre divergencia y convergencia. Solo hay una suma cuando la serie infinita converge, y no hay suma cuando la serie infinita diverge. (La definición en este párrafo se cita de la serie infinita de la Enciclopedia Baidu )

1.2 función de suma simbólica

La función symsum se proporciona en MATLAB para calcular la serie infinita.El método de llamada de la función symsum es: symsum(y,x,start,end), donde y es una expresión simbólica, que representa la generalidad de la serie infinita. , x indica la variable independiente para el cálculo, start indica el elemento inicial y end indica el elemento final.

El siguiente es un ejemplo de la función symsum, como usar MATLAB para determinar la suma de la siguiente serie:

$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+...+\frac{1}{n(n+1)}$

El código de MATLAB se ve así:

syms n
s=symsum(1/(n*(n+1)),n,1,Inf)

Los resultados de ejecución son los siguientes:

s =
     1

Usar MATLAB para calcular series infinitas puede simplificar enormemente nuestra velocidad de cálculo. Por ejemplo, si calculamos la serie infinita anterior, el proceso es el siguiente:

$S_n=\sum_{k=1}^{n}=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+... .+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=1-\frac{1}{n+1}$

$\lim_{x \a \infty}S_n=1$

El resultado del cálculo es el mismo que el resultado del cálculo anterior de MATLAB, y MATLAB puede simplificar la operación hasta cierto punto utilizando MATLAB para resolver el problema de las series infinitas parciales.

1.3 Usar MATLAB para resolver el ejemplo de series infinitas

Resolvamos algunos ejemplos de series infinitas, por ejemplo:

$\frac{1}{1\times 3}-\frac{1}{2\times 4}+\frac{1}{3\times 5}+...+\frac{(-1)^{n -1}}{n(n+2)}$

$\frac{1}{1\times 6}+\frac{1}{6\times 11}+...+\frac{1}{(5n-4)(5n+1)}$

$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...+\frac{1}{n^2}$

$1-\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...+\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}$

El código de MATLAB se ve así:

syms n
x1=(-1^(n-1))/(n*(n+2))
x2=1/((5*n-4)*(5*n+1))
x3=1/(n^2)
x4=((-1)^(n+1))/(n^2)
y1=symsum(x1,n,1,Inf)
y2=symsum(x2,n,1,Inf)
y3=symsum(x3,n,1,Inf)
y4=symsum(x4,n,1,Inf)

Los resultados de ejecución son los siguientes:

y1 =
     -3/4
y2 =
     1/5
y3 =
     pi^2/6
y4 =
     pi^2/12

2 series de Taylor

2.1 Definición de serie de Taylor:

Si f(x) $x=x_0$ tiene derivadas posteriores, entonces la función de potencia

$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n=f(x_0)+f'(x_0)(x -x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x- x_0)^{(n)}+...$

se llama la serie de Taylor $f(x_0)$ en $x=x_0$ .

En una serie de Taylor, tome $x_0=0$ , para obtener la serie:

$\sum_{x\to 0 }^{\infty }\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$

llamada serie de McLaughlin. La serie de Maclaurin de la función f(x) es una función potencia de x, entonces esta expansión es única y debe ser consistente con la serie de Maclaurin de f(x).

(La definición anterior se cita de la serie Taylor de la Enciclopedia Baidu )

2.2 función de Taylor

En MATLAB, la función de Taylor proporciona una expresión para calcular la serie de Taylor de una expresión simbólica. El método de llamada de la función de Taylor es: taylor(y,x,a,Name,Value), donde en la fórmula anterior:

y representa la expresión de la función que se va a expandir.
x representa una variable independiente.
a representa el valor expandido de la función y en x=a.
El nombre tiene tres valores, incluidos ExpansionPoint, Order y OrderMode, y Value representa el valor de Name. Los detalles específicos son los siguientes:

Orden: especifica el orden de truncamiento, que es un número entero positivo. Cuando no se establece, el orden de truncamiento es 6 y el orden más alto indicado es 5.

ExpansionPoint: especifique el punto de expansión, el valor predeterminado del sistema es 0.

OrderMode: especifica el orden relativo y el orden absoluto de la expansión. Hay dos valores, a saber, Absoluto y Relativo. Si no se establece, el sistema predeterminado es Absoluto.

El siguiente ejemplo utiliza la función de Taylor en MATLAB para calcular la serie de Taylor de una expresión simbólica. Por ejemplo, $e ^ x$ encuentre su serie de Taylor en x=0.

Usando MATLAB para resolver de la siguiente manera:

syms x
y=exp(x);
taylor(y)

Los resultados de ejecución son los siguientes:

ans =
    x^5/120 + x^4/24 + x^3/6 + x^2/2 + x + 1

A partir de los resultados de ejecución anteriores, se puede ver que el orden más alto del resultado de salida predeterminado del sistema es 5 y, de forma predeterminada, la variable x se toma cuando x=0.

2.3 Usar MATLAB para resolver el ejemplo de series infinitas

Usando MATLAB también podemos resolver algunas expresiones simbólicas más. Por ejemplo:

$e^{-\frac{x^2}{2}}$

$\frac{1}{x-1}$

$pecado(x4)$

$\frac{x}{2}cosx$

El código de MATLAB se ve así:

syms x
f1=exp(-x^2/2);
f2=1/(x-1);
f3=sin(4*x);
f4=x/2*cos(x);
y1=taylor(f1,x,0)
y2=taylor(f2,x,0,'Order',7)
y3=taylor(f3,x,0,'Order',6)
y4=taylor(f4,x,0)

Los resultados de ejecución son los siguientes:

y1 = 
    x^4/8 - x^2/2 + 1 
y2 = 
    - x^6 - x^5 - x^4 - x^3 - x^2 - x - 1 
y3 = 
    (128*x^5)/15 - (32*x^3)/3 + 4*x 
y4 = 
    x^5/48 - x^3/4 + x/2

Uso de MATLAB para calcular series infinitas y series de Taylor

1 serie infinita

1.1 Definición de serie infinita:

1.2 función de suma simbólica

1.3 Usar MATLAB para resolver el ejemplo de series infinitas

2 series de Taylor

2.1 Definición de serie de Taylor:

2.2 función de Taylor

2.3 Usar MATLAB para resolver el ejemplo de series infinitas

Supongo que te gusta