Definición: R x ( θ ) = [ x ^ ′ y ^ ′ z ^ ′ ] = [ 1 0 0 0 porque θ − sin θ 0 sin θ porque θ ] \textit{\textbf{R} }_x (\theta)=[\hat{x}'\;\; \hat{y}'\;\; \hat{z}'] =\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos{\theta}&-\sin{\theta}\\0&\sin{\theta}&\cos{ \theta}\end{ bmatriz}Rx( yo )=[X^′y^′z^′ ]=1000porqueipecadoi0−pecadoiporquei
Definición: R y ( θ ) = [ x ^ ′ y ^ ′ z ^ ′ ] = [ porque θ 0 sin θ 0 1 0 − sin θ 0 porque θ ] \textit{\textbf{R} }_y (\theta)=[\hat{x}'\;\; \hat{y}'\;\; \hat{z}'] =\begin{bmatriz}\cos{\theta}&0&\sin{\theta}\\0&1&0\\-\sin{\theta}&0&\cos{\ theta }\end{bmatriz}Rtu( yo )=[X^′y^′z^′ ]=porquei0−pecadoi010pecadoi0porquei
Definición: R z ( θ ) = [ x ^ ′ y ^ ′ z ^ ′ ] = [ porque θ − sin θ 0 sin θ porque θ 0 0 0 1 ] \textit{\textbf{R} }_z (\theta)=[\hat{x}'\;\; \hat{y}'\;\; \hat{z}'] =\begin{bmatriz}\cos{\theta}&-\sin{\theta}&0\\\sin{\theta}&\cos{\theta}&0\\0& 0 & 1 \end{bmatriz}Rz( yo )=[X^′y^′z^′ ]=porqueipecadoi0−pecadoiporquei0001
Propiedades de la matriz de rotación en el espacio tridimensional
ortogonalidad
Los tres vectores de columna de la matriz de rotación son un conjunto de bases ortonormales
Cada vector columna es un vector unitario, ortogonales entre sí
La matriz de rotación es una matriz ortogonal con ortogonalidad
El determinante es siempre 1
Det ( R sb ) = 1 {\rm det}(\textit{\textbf{R}}_{sb})= 1eso ( Rsb _)=1 (es decir: describe la escala, la matriz de rotación no escalará el objeto)
reversibilidad
Matriz inversa de matriz de rotación = matriz transpuesta R sb − 1 = R bs \textit{\textbf{R}}_{sb}^{-1} = \textit{\textbf{R}}_{bs}\; \ ;Rsb _− 1=Rbs _R sb − 1 = R sb T \textit{\textbf{R}}_{sb}^{-1}=\textit{\textbf{R}}_{sb}^{\rm T}Rsb _− 1=Rsb _T
cierre
matriz de rotación ⋅ \cdot⋅ Matriz de Rotación = Matriz de Rotación
Satisfacer la ley asociativa pero no la conmutativa
Ejemplos: ( R ab ⋅ R bc ) ⋅ R cd = R ab ⋅ ( R bc ⋅ R cd ) = R ad (\textit{\textbf{R}}_{ab} \cdot \textit{\textbf{ R }}_{bc}) \cdot \textit{\textbf{R}}_{cd} = \textit{\textbf{R}}_{ab} \cdot (\textit{\textbf{R}}_ { bc} \cdot \textit{\textbf{R}}_{cd}) = \textit{\textbf{R}}_{anuncio}( Rab⋅Rb c)⋅Rc re=Rab⋅( Rb c⋅Rc re)=Run re
No conmutativo: R ac = R ab ⋅ R bc ≠ R bc ⋅ R ab \textit{\textbf{R}}_{ac} = \textit{\textbf{R}}_{ab} \cdot \textit {\ textbf{R}}_{bc} \neq \textit{\textbf{R}}_{bc} \cdot \textit{\textbf{R}}_{ab}Runa c=Rab⋅Rb c=Rb c⋅Rab
2. Rotar una matriz alrededor de un eje arbitrario
2.1 Propiedades de la operación de productos cruzados
forma de producto vectorial
un × segundo = [ 0 − azayaz 0 − ax − ayax 0 ] ⋅ segundo = [ un ] × ⋅ segundo 0 & -a_z & a_y\\ a_z & 0 & -a_x\\ -a_y & a_x & 0\end {bmatriz}\cdot\textit{\textbf{b}}=[\textit{\textbf{a}}] _ {\times}\cdot\text{\textbf{b}}a×b=0az− untu− unz0axatu− unx0⋅b=[ un ]×⋅b
Ley anticonmutativa de la multiplicación cruzada: a × b = − b × a \textit{\textbf{a}}\times\textit{\textbf{b}}=-\textit{\textbf{b}}\times\textit {\textbf{a}}a×b=- segundo×a
[ a ] × segundo = − [ segundo ] × un [\textit{\textbf{a}}]_\times\textit{\textbf{b}}=-[\textit{\textbf{b}}]_\ veces\textit{\textbf{a}}[ un ]×b=− [ segundo ]×a
Matriz antisimétrica: [ a ] × = − [ a ] × T [\textit{\textbf{a}}]_\times=-[\textit{\textbf{a}}]_\times ^{\m T}[ un ]×=− [ un ]×T
Ejemplo: a × ( b × c ) = ( a ⋅ c ) b − ( a ⋅ b ) c \textit{\textbf{a}}\times(\textit{\textbf{b}}\times \textit{\textbf{c}})=(\textit{\textbf{a}}\cdot\textit{\textbf{c}})\textit{\textbf{b}}-(\textit{\textbf{ a}}\cdot\textit{\textbf{b}})\textit{\textbf{c}}a×( segundo×c )=( un⋅c ) segundo−( un⋅b ) c
向量点积运算: a ⋅ b = a T b = b T a \textit{\textbf{a}}\cdot\textit{\textbf{b}}=\textit{\textbf{a}}^{\rm T}\textit{\textbf{b}}=\textit{\textbf{b}}^{\rm T}\textit{\textbf{a}}a⋅b=aTb _=bTa _
[ un ] × [ segundo ] × c = ( un T c ) segundo − ( un T segundo ) c [\textit{\textbf{a}}]_\times[\textit{\textbf{b}}]_\ veces\textit{\textbf{c}}=(\textit{\textbf{a}}^{\rm T}\textit{\textbf{c}})\textit{\textbf{b}}-(\textit {\textbf{a}}^{\rm T}\textit{\textbf{b}})\textit{\textbf{c}}[ un ]×[ b ]×C=( unT c)b−( unT b)c
2.2 Producto vectorial y forma matricial
{ un = un × segundo ∣ C ∣ = ∣ un ∣ ∣ segundo ∣ pecado θ \left\{\begin{matriz}\textit{\textbf{a}}=\textit{\textbf{a}}\times \ textit{\textbf{b}} \\|\textit{\textbf{c}}|=|\textit{\textbf{a}}||\textit{\textbf{b}}|\sin {\theta } \end{matriz}\right.{
a=a×b∣ c ∣=∣ un ∣∣ segundo ∣pecadoi
2.3 Velocidad lineal de rotación alrededor del eje
∣ v ω ∣ = ∣ ω ∣ ⋅ ∣ pags ∣ ⋅ pecado ∠ AOP |\textbf{v}}_\omega|=|{\bm\omega}|\cdot|\textbf{p }}|\cdot\ sen\ángulo AOP∣ vVaya∣=∣ ω ∣⋅∣ pag ∣⋅pecado∠ UN PO
v ω = ω × pags = [ ω ] × pags \textbf{v}}_{\omega}={\bm\omega}\times\textbf{p}}=[{\bm\ omega}]_{\ veces}\text{\textbf{p}}vVaya=Vaya×pag=[ ay ]×pag
R ˙ sb = [ x ^ ˙ y ^ ˙ z ^ ˙ ] = [ [ ω s ] × x ^ segundo [ ω s ] × y ^ segundo [ ω s ] × z ^ segundo ] = [ ω s ] × [ x ^ segundo y ^ segundo z ^ segundo ] = [ ω s ] × R sb \dot{\bm R}_{sb}=[\dot{\hat{\bm x}}\; \dot{\sombrero{\bm y}}\; \dot{\hat{\bm z}}] = [\;[{\bm\omega}_s]_{\times}\hat{\bm x}_b \;\; [{\bm\omega}_s]_{\times}\hat{\bm y}_b \;\; [{\bm\omega}_s]_{\times}\hat{\bm z}_b\;] = [{\bm \omega}_s]_{\times}[\hat{\bm x}_b\ ;\;\hat{\bm y}_b\;\;\hat{\bm z}_b] = [{\bm \omega}_s]_{\times}{\bm R}_{sb}R˙sb _=[X^˙y^˙z^˙ ]=[[ ays]×X^segundo[ ays]×y^segundo[ ays]×z^segundo]=[ ays]×[X^segundoy^segundoz^segundo]=[ ays]×Rsb _
Velocidad angular de rotación ω s {\bm\omega}_sVayasy la matriz de rotación R sb {\bm R}_{sb}Rsb _Ejemplo: [ ω s ] × = R ˙ sb R sb − 1 = R ˙ sb R sb T [{\bm\omega}_s]_{\times}=\dot{\bm R}_{sb}{ \bm R}_{sb}^{-1}=\dot{\bm R}_{sb}{\bm R}_{sb}^{\rm T}[ ays]×=R˙sb _Rsb _− 1=R˙sb _Rsb _T
2.4 Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden
x ˙ ( t ) = hacha ( t ) , x ( 0 ) = x 0 → x ( t ) = eatx 0 \dot{x}(t)=ax(t), x(0)=x_0\rightarrow x( t)=e^{en}x_0X˙ (t)=un x ( t ) ,X ( 0 )=X0→x ( t )=miun tx _0
La ecuación diferencial lineal de primer orden de un vector: x ˙ ( t ) = A x ( t ) , x ( 0 ) = x 0 → x ( t ) = e A tx 0 \dot{\bm x}(t) ={\ bm A}{\bm x}(t), {\bm x}(0)={\bm x}_0\rightarrow {\bm x}(t)=e^{ {\bm A}t }{
\bmx}_0X˙ (t)=A x (t),X (0)=X0→x (t)=mien x_0
Exponente de la matriz e A te^{
{\bm A}t}mien la naturaleza_
对角矩阵: mi re t = [ ed 1 t 0 ⋯ 0 0 ed 2 t ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ ednt ] e^{Dt}=\begin{bmatrix} e^{d_1t} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & e^{d_2t} & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & e^{d_nt}\end{bmatrix}mire _=mid1t0⋮00mid2t⋮0⋯⋯⋯00⋮midnt
Matriz no diagonal, primero diagonalice A = PDP − 1 {\bm A}={\bm PDP}^{-1}A=P DP− 1 :mi UN t = PAGS mi re t PAGS − 1 e^{
{\bm A}t}={\bm P}e^{Dt}{\bm P}^{-1}miUn t=P.e. _D t P− 1
若AB = BA {\bm AB}={\bm BA}un b=B Acompatible, 则e A e B = e A + B e^{\bm A}e^{\bm B} = e^{ { \
bm A}+{\bm B}}miuna miB=miA + B
( mi UN ) ( − 1 ) = mi − UN (e^{\bm A})^{(-1)}=e^{-{\bm A}}( miun )( -1 ) _=mi− un
2.5 La matriz de rotación representada por el método eje-ángulo
PÁGINASLas coordenadas iniciales del punto P p 0 {\bm p_0}pag0, el vector unitario ω ^ \hat{\omega} alrededor del eje de rotaciónVaya^ rotado porθ \thetaθ ángulo--equivalente –> vector unitarioω ^ \hat{\omega}Vaya^ En unidades de velocidad 1rad/s {\rm rad/s}rad/s rotado por el tiempoθ \thetai
Hay una ecuación diferencial: p ˙ ( t ) = [ ω ] × p ( t ) \dot{\bm p}(t)=[\bm\omega]_\times{\bm p}(t)pag˙( t )=[ ay ]×pags (t), funciónpags ( θ ) = mi [ ω ^ ] × θ pags 0 {\bm p}(\theta)=e^{[\hat{\bm \omega}]_\times\theta} { \bmp}_0pag (θ)=mi[Vaya^ ]×θ pags0
Alrededor del eje unitario ω ^ \hat{\bm \omega}Vaya^ rotartheta \thetaResuelve el infinitivo θ :R ot ( ω ^ , θ ) = e [ ω ^ ] × θ = ∑ n = 0 ∞ [ ω ^ × n θ n ] n ! {\rm Rot}(\hat{\bm\omega},\theta)=e^{[\hat{\bm\omega}]_\times\theta}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{[\hat{\bm\omega}_\times^n\theta^n]}{n!}podredumbre (Vaya^ ,yo )=mi[Vaya^ ]×i=∑norte = 0∞n ![Vaya^×nin ]
Cierre: el producto de matrices de transformación homogéneas sigue siendo una matriz de transformación homogénea
满足结合律: ( T ab ⋅ T bc ) ⋅ T cd = T ab ⋅ ( T bc ⋅ T cd ) = T ad ({\bm T}_{ab}\cdot{\bm T}_{bc}) \cdot{\bm T}_{cd}={\bm T}_{ab}\cdot({\bm T}_{bc}\cdot{\bm T}_{cd})={\bm T }_{anuncio}( Tab⋅Tb c)⋅Tc re=Tab⋅( Tb c⋅Tc re)=Tun re
Definición: T ac = T ab ⋅ T bc ≠ T bc ⋅ T ab {\bm T}_{ac}={\bm T}_{ab}\cdot{\bm T}_{bc}\ neq{\ bm T}_{bc}\cdot{\bm T}_{ab}Tuna c=Tab⋅Tb c=Tb c⋅Tab
3.2 Matriz de transformación homogénea T {\bm T}El papel de T.
Describir la posición y actitud del cuerpo rígido (postura)
1. T {\bm T}T como cantidad de estado
Transforme el sistema de coordenadas de referencia para sistemas vectoriales, de puntos y de coordenadas
2.3. T {\ bm T}T es un operador, multiplicado por un vector/matriz para completar la transformación/movimiento del sistema de coordenadas
3.2.1 Describir la postura del cuerpo rígido
Dado el sistema de coordenadas del mundo { s } \{s\}{
s } sistema de coordenadas local inferior{ a } { b } { c } \{a\}\{b\}\{c\}La matriz de rotación R sa R sb R sc \;{\bm R}_{sa}\;{\bm R}_{sb}\;{\bm R}_{sc de { a } { b } { c } }\;Res unRsb _Rsc, coordenadas de origen psa psb psc {\bm p}_{sa}\;{\bm p}_{sb}\;{\bm p}_{sc}pages unpagsb _pagsc
tengo que
{ c } \{c\}{
c } relativo a{ b } \{b\}{
segundo }的位姿R bc = R sb T ⋅ R sc {\bm R}_{bc} = {
{\bm R}_{sb}}^{\rm T} \cdot {\bm R}_ {Carolina del Sur}Rb c=Rsb _T⋅Rsc
Transforme primero el sistema de coordenadas y muévase {s}
右乘运动ps ′ ′ = T sb ′ ′ pb = T sb T pb = T sbpb ′ ′ {\bm p}_s''={\bm T}_{sb''}{\bm p}_b={ \bm T}_{sb}{\bm T}{\bm p}_b={\bm T}_{sb}{\bm p}_b''pags"=Tsb _"pagsegundo=Tsb _T pagsegundo=Tsb _pagb"
Primero muévase en {b}, luego transforme el sistema de coordenadas
4. Ángulos de Euler
balanceo balanceo, cabeceo cabeceo, guiñada
Secuencia YPR: El sistema de coordenadas del objeto inicial {b} coincide con el sistema de coordenadas mundial {s}, primero gire alrededor del eje z de {b} –>{b'}, luego gire alrededor del eje y de {b' } –>{b' '}, gira alrededor del eje x de {b''} –>{b'''}
Rotación relativa al sistema de coordenadas del objeto: calculada multiplicando por la derecha el método de matriz de rotación
R sb = yo {\bm R}_{sb}={\bm yo}Rsb _=I
R sb ′ = R sb R z ( guiñada ) = R z ( guiñada ) {\bm R}_{sb'}={\bm R}_{sb}R_z({\rm guiñada})={\bm R }_z({\rm guiñada})Rsb _′′=Rsb _Rz( guiñada )=Rz( guiñada )
R sb ′ ′ = R sb ′ R y ( tono ) = R z ( guiñada ) R y ( tono ) {\bm R}_{sb''}={\bm R}_{sb'}R_y({\ rm cabeceo})={\bm R}_z({\rm guiñada}){\bm R}_y({\rm cabeceo})Rsb _"=Rsb _′′Rtu( tono )=Rz( guiñada ) Rtu( tono )
R sb ′ ′ ′ = R sb ′ ′ R x ( balanceo ) = R z ( guiñada ) R y ( cabeceo ) R x ( balanceo ) {\bm R}_{sb'''}={\bm R}_ {sb''}R_x({\rm balanceo})={\bm R}_z({\rm guiñada}){\bm R}_y({\rm cabeceo}){\bm R}_x({\rm rollo})Rsb _" "=Rsb _"Rx( rollo )=Rz( guiñada ) Rtu( tono ) Rx( rollo )
R sb ′ ′ ′ {\bm R}_{sb'''}Rsb _" "→ \flecha derecha→ { broncearse γ = porque β pecado γ porque β porque γ = r 32 r 33 pecado β = − r 31 bronceado α = pecado α porque β porque α porque β = r 21 r 11 \left\{\begin{matriz}\tan\gamma = \frac{\cos\beta\sin\gamma}{\cos\beta\cos\gamma} = \frac{r{32}}{r_{3 }}\\\sin\beta = -r_{31}\\\tan\alpha = \frac{\sin\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta} = \frac{r{2 }}{r_{11}}\end{matriz}\right.⎩⎨⎧broncearseC=porque _ _bporque _ _Cporque _ _bpecado _ _C=r3332 _pecadob=- r31broncearsea=porque _ _aporque _ _bpecado _ _aporque _ _b=r11r 21 → \flecha derecha→ { rodar = arctan 2 ( r 32 , r 33 ) paso = arcsen ( − r 31 ) guiñada = arctan 2 ( r 21 , r 11 ) \left\{\begin{matriz}{\rm roll} = \arctan2(r_{32}, r_{33}) \\{\rm cabeceo} = \arcsin(-r_{31})\\{\rm guiñada} = \arctan2(r_{21},r_{11} )\end{matriz}\right.⎩⎨⎧rollo=arcán2 ( r32,r33)paso=arcosen ( − r31)guiñada=arcán2 ( r21,r11)
árbitro
"Algoritmo de control de robot cuadrúpedo - modelado, control e implementación"