《算法零基础100讲》(第15讲) 二分快速幂[题解]

一.主要知识点

二分快速幂
  二分快速幂的主要思想就是“分而治之”，其通常的表达式为：

通过这个公式我们很容易想到，需要通过递归的方式实现
代码如下：

int quickMul(int a, int m){
    
    
    if(m == 0){
    
    
        return 1;
    }
    int v = quickMul(a, m / 2);
    return m % 2 == 0 ? v * v : v * v * a;
}

其计算过程的体现方式与二进制转化十进制有些相似。

举个例子：
3 ^ 10 = (3 * 3 ^ 5) * (3 ^ 2) * (3 * 3 ^ 1) * (3 ^ 0)
当为奇次幂时要补乘个3
这样，原本通过循环需要计算10次的数据只需计算4次了。

二.课后习题

50. Pow(x, n)

Pow(x, n)的题目链接

这道题我们只需要区分一下正负即可。
设n大于0，则：
a ^ n = a ^ n
a ^ (-n) = 1 / a ^ n
代码如下：

double quickMul(double a, long long m){
    
    
    if(m == 0){
    
    
        return 1.0;
    }
    double v = quickMul(a, m / 2);
    return m % 2 == 0 ? v * v : v * v * a;
}

double myPow(double x, int n){
    
    
    long long m = n;
    return m >= 0 ? quickMul(x, m) : 1 / quickMul(x, -m);//小于0时取（-m）次方的倒数
}

372. Super Pow

Super Pow的题目链接

1. 这道题的主要难点就是数据量过于巨大，最大的数据时计算2000次方，很明显这是不可能实现的，当然题目也要求a ^ b mod1337，但光是计算出结果a ^ b之前（由于我们运用二分快速幂，所以会将a ^ b拆分为多个式子相乘）就已经会出现溢出，所以再计算a ^ b的过程中我们也要进行mod，但随便取模是会导致结果发生变化的，这是我们便要运用到公式:

(a * b) % k = (a % k) * (b % k) % k

2. 现在我们解决了求幂的问题，由于我们所得到的幂数据是由数组d组成的，所以我们还要考虑如何进行转化。
   举个例子：
   
   我们不难发现这个问题我们也能用递归的方式解决，从尾部开始计算。
   代码如下：

#define mod 1337
int mypow(int a,int b){
    
    
    if(b == 0)return 1;
    a %= mod;
    if(b % 2 == 1){
    
    
        return a * mypow(a, b - 1);
    }
    else{
    
    
        int sum = mypow(a, b / 2);
        return (sum % mod) * (sum % mod) % mod;
    }
}

int superPow(int a, int* b, int bSize){
    
    
    if(!bSize)return 1;
    int ans;
    ans = mypow(a, b[bSize - 1]) * mypow(superPow(a, b, bSize - 1), 10);
    return ans % mod;
}