【佛山市选2015】石子游戏

Description

Alice 和 Bob 总喜欢聚在一起玩游戏（T_T），今天他（她）们玩的是一款新型的取石子游戏。游戏一开始有N堆石子，Alice 和 Bob 轮流取出石子。在每次操作中，游戏者必须选择其中的一堆石子，并作出下列的其中一种操作：

(1)移去整堆石子
(2)假设石子堆中有X颗石子，取出Y颗石子，其中1<=Y
游戏结束的条件是：取出最后一颗石子的人胜出。众所周知，Alice和Bob都是绝顶聪明的，假设他们在游戏中都采取最优的策略，问最后谁会胜出游戏呢？

Alice先取。

Input

第一行包含一个整数T，表示测试数据的组数。
接下来T组测试数据，在每组数据中，第一行包含一个整数N，表示有多少堆石子。第二行N个正整数，分别表示每堆有多少颗石子。

Output

每组测试数据输出一行，表示获胜者的名字（Alice 或者 Bob）。

Sample Input

3
3
3 5 6
4
2 3 6 9
5
3 2 1 1000000 999999

Sample Output

Alice
Bob
Alice

Data Constraint

20%的数据，N<=5，每堆石子数量少于10
100%的数据，T<=100，N<=100，每堆石子数量不大于1,000,000

思路

考虑构造 SG 函数。
SGi = mex ( { Sgi­j }( i, j )=1 ∪ { 0 } )
其中 mex 表示集合中最小没有出现过的自然数。
具体为什么 SG 函数是这样子的，大致上和经典取石子游戏的思路相同。
那么这个 SG 函数如果暴力算的话，貌似是 O( C^2logC ) 的，其中 C 表示石子数。
分析一下 SG 函数值的特点。
首先 SG0 = 0 （终止态）
若 k 与 i 互质，i 总是可以从 i­k 中转移过来，又有若 k 与 i 互质，i­k 与 i 必定互质。
那么综上有 SGi = mex ( { Sgj }( i, j )=1 ∪ { 0 } )
若 i 是质数，那么对于小于 i 的所有正整数都可以被取到，那么 SGi则应为之前出现
过的所有 SG 值中最大者+1，我们不难发现质数们的 SG 值是递增的。
若 i 是一个合数，那么 i 肯定存在某个因子为前面出现过的质数，于是 SGi 最多为该
质因子的 SG 值。又有质数们的 SG 值是递增的，那么 SGi 就应为最小质因子的 SG 值了。
我们发现合数必定不能产生新的 SG 值，它必定为其某个质因子的 SG 值。
于是第 k 个质数的 SG 值就是 k+1 了。
类似线性筛质数的原理，我们可以线性筛出 SG 值了。

代码

#include<cstdio>
int p[1000010],f[1000010],SG[1000010],num,n,ass,t;
void get(){
    for (int i=2; i<1000010; i++){
        if(!f[i]) p[++num]=i,SG[i]=num+1;
        for (int j=1; j<=num && (j==1 || i%(p[j-1])) && p[j]*i<1000010; j++)
            f[p[j]*i]=-1,SG[p[j]*i]=j+1;
    }
}

int main()
{
    SG[1]=1;
    get();
    scanf("%d",&t);
    for(int i=1; i<=t; i++,ass=0)
    {
        int j;
        scanf("%d",&j);
        for(;j;j--)
        {
            int x;
            scanf("%d",&x);
            ass^=SG[x];
        }
        printf(ass?"Alice\n":"Bob\n");
    }
}