Description
现有N*(N+1)/2 个人围成一圈,编号从1到N*(N+1)/2,其中编号i与编号i+1的人相邻,编号N*(N+1)/2与编号1相邻。如今,我们要执行N-1个阶段的杀人仪式,在第一个阶段开始前,从编号为1的人开始报数。在第i阶段中,报到n+1-i这个数的人要被杀害,之后从被杀害者的下一个相邻的人开始从1开始报数,在第i个阶段里需要杀死n+1-i个人,随后即可进入下一个阶段,更具体地说:
在第1个阶段中,报数为N的人会被杀害,在这个阶段中需要杀死N个人;
在第2个阶段中,报数为N-1的人会被杀害,在这个阶段中需要杀死N-1个人;
.
.
.
在第n-1个阶段中,报数为2的人会被杀害,在这个阶段中需要杀死2个人。
仪式结束后,会剩下一个幸存者,请问这位幸存者的编号是多少?
Input
第一行一个整数T,表示数据的组数。
接下来T行,每行一个整数N,N定义如题目所述。
Output
输出一个整数,表示幸存者的编号
Sample Input
3
1
2
3
Sample Output
1
3
2
Data Constraint
20%数据,1<=n<=100,T <=10
40%数据,1<=n<=100,000,T<=10
100%数据,1<=n<=5,000,000,T<=100000
思路
设f[i]为n=i时,存活下来的那个人的编号。
由于每次第一轮删掉的是n人,且总人数a[i]=n*(n+1)/2,所以,a[i]=a[i-1]+n。
f[i]等于剩下的人的第f[i]个。
对于偶数
不难发现,第一轮死掉的人是n , 2n , 3n … n*n/2 , n-n/2 , 2n-n/2+1…n*n/2-n/2+n/2-1
结束的人的编号是n*n-1(mod n*(n+1)/2)
同时我们发现,结束编号后面的人是都没有死的,所以如果end+f[i-1]<=n*(n+1)/2 则f[i]=end+f[i-1];
我们可以直接用除法判断t在哪一个循环结束的
奇数同理,但结束位置有变。
代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=5e6+7;
const int T=1e6+6;
int n,a[T];
long long f[N];
long long odd(long long n,long long size,long long v)
{
long long last=(n-1)*(n+1)/2,advan,a,b;
if(last+v<size)return last+v;
v-=size-last-1;
for(last=v; ; last=advan+v)
{
a=last/n,b=last/(n+1);
advan=a+b;
if(advan+v==last)break;
}
return last;
}
long long even(long long n,long long size,long long v)
{
long long last=n*n/2,advan,a,b,s=n/2;
if(last+v<=size)return last+v;
v-=size-last;
for(last=v; ; last=advan+v)
{
a=last/n,b=a;
if(last>=(b+1)*n-(s-b))++b;
advan=a+b;
if(advan+v==last)break;
}
return last;
}
int main()
{
freopen("data.in","r",stdin);
freopen("data.out","w",stdout);
scanf("%d",&n);
for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%d",&a[i]),a[0]=max(a[0],a[i]);
f[1]=1;
for(long long i=2; i<=a[0]; i++)
{
if(i&1) f[i]=odd(i,i*(i+1)/2,f[i-1]);
else f[i]=even(i,i*(i+1)/2,f[i-1]);
}
for(int i=1; i<=n; i++) cout<<f[a[i]]<<endl;
return 0;
}