矩阵及乘法重要总结

重要总结

有三种角度看待矩阵 $A$ ：1、矩阵是线性变换， $A$ 是整体。2、矩阵是列向量的有序集合， $A = \left[ \mathbf{a_1},\mathbf{a_2},\cdots,\mathbf{a_n}\right]$ 。3、矩阵是行向量的有序集合， $A = \left[ \begin{matrix} \mathbf{a^T_{r1}} \\ \mathbf{a^T_{r2}} \\ \vdots \\ \mathbf{a^T_{rn}} \end{matrix} \right]$ 。

对应的有三种角度看待矩阵乘法，1、矩阵乘法是两个线性变换的复合， $AB$ 。2、矩阵乘法是矩阵 $B$ 的列向量组的线性变换，变换矩阵为 $A$ ， $AB=\left[ A\mathbf{b_1},\cdots,A\mathbf{b_p}\right]$ 。3、矩阵乘法是矩阵 $A$ 的行向量组的线性变换，变换矩阵为 $B$ ， $AB = \left[ \begin{matrix} \mathbf{a^T_{r1}}B \\ \mathbf{a^T_{r2}}B \\ \vdots \\ \mathbf{a^T_{rn}}B \end{matrix} \right]$ 。

这三种角度需灵活运用，在不同的场合用不同的角度，可以简化问题。