DP的四边形不等式及决策单调性优化
四边形不等式
设函数\(w(x,y)\)
若对于任意的\(a\leq b\leq c\leq d\)，满足\(w(a,c)+w(b,d)\leq w(a,d)+w(b,c)\)则称函数\(w\)满足四边形不等式
性质一：
\(w\)满足四边形不等式当且仅当\(w(i,j)+w(i+1,j+1)\leq w(i+1,j)+w(i,j+1)\)
首先，根据四边形不等式的定义，必要性显然，接下来证明充分性
移项可得：\(w(i,j)-w(i,j+1)\leq w(i+1,j)-w(i+1,j+1)\)
推广可得：\(w(i,j)+-w(i,j+1)\leq w(i+k,j)-w(i+k,j+1)\ (k>0)\)
\(∴w(i,j)-w(i+k,j)\leq w(i,j+1)-w(i+k,j+1)\ (k>0)\)
\(∴w(i,j)+w(i+k,j+1)\leq w(i,j+1)+w(i+k,j)\)
充分性得证
区间包含单调
若对于任意的\(a\leq b\leq c\leq d\)满足\(w(a,d)\leq w(b,c)\)或对于任意的\(a\leq b\leq c\leq d\)满足\(w(a,d)\geq w(b,c)\)，则称\(w\)满足区间包含单调
常用形式
形式一：\(f(i,j)=min(f(i,k)+f(k+1,j))\)
假设\(f(i,j)\)的最优决策点为\(p(i,j)\)
定理一：若\(f\)满足四边形不等式，则\(p(i,j-1)\leq p(i,j)\leq p(i+1,j)\)
证明：
设决策点\(x\leq y\)
有\(f(x,j-1)+f(y,j)\leq f(x,j)+f(y,j-1)\)
两边同时加上\(f(i,x-1)+f(i,y-1)\)得
\(f_x(i,j-1)+f_y(i,j)\leq f_x(i,j)+f_y(i,j-1)\)
\(f_x(i,j-1)-f_y(i,j-1)\leq f_x(i,j)-f_y(i,j)\)
若\(x\)优于\(y\)，则\(f_x(i,j)-f_y(i,j)\leq0\)
\(∴f_x(i,j-1)-f_y(i,j-1)\leq0\)
即在对于\(f(i,j-1)\)的转移中\(x\)也优于\(y\)
若\(k>p(i,j)\)，则\(p(i,j)\)在对于\(f(i,j-1)\)的转移中也优于\(k\)，即\(p(i,j-1)\leq p(i,j)\)，不等式后半部分同理
定理一得证
运用定理一可将时间复杂度从\(O(n^3)\)降到\(O(n^2)\)
形式二：\(f(i,j)=max(f(i,k)+f(k+1,j))\)
将形式一中四边形不等式的符号反向即可
形式三：\(f(i,j)=min(f(i,k)+f(k+1,j)+w(i,j))\)
定理二：若\(w\)满足区间包含单调和四边形不等式，则\(f\)也满足区间包含单调和四边形不等式
证明：
\(∵w\)满足区间包含单调
\(∴w\)全为正或全为负
\(∴f\)也满足区间包含单调
下面证明四边形不等式
当\(a=b或c=d\)时显然成立
下面对区间长度进行归纳
\(1^ob=c\)
有\(a\leq b=c\leq d\)，设\(x为f(a,d)\)的最优决策点，由对称性，不妨设\(x\leq b\)
\(f(a,c)+f(b,d)=f(a,b)+f(b,d)\leq f(a,x)+f(x+1,b)+w(a,b)+f(b,d)\)
\(\leq f(a,x)+f(x+1,b)+f(b,d)+w(a,d)\leq f(a,x)+f(x+1,d)+w(a,d)\)
\(=f(a,d)=f(a,d)+f(b,c)\)
\(2^ob\neq c\)
有\(a<b<c<d\)，设\(x\)为\(f(a,d)\)的最优决策点，\(y\)为\(f(b,c)\)的最优决策点，由对称性，不妨设\(x\leq y\)
\(f(a,c)+f(b,d)\leq f(a,x)+f(x+1,c)+w(a,c)+f(b,y)+f(y+1,d)+w(b,d)\)
\(\leq f(a,x)+f(b,y)+f(x+1,d)+f(y+1,c)+w(a,c)+w(b,d)\)
\(\leq f(a,x)+f(x+1,d)+f(b,y)+f(y+1,c)+w(a,d)+w(b,c)\)
\(=f(a,d)+f(b,c)\)
定理二得证
形式四：\(f(i)=min(f(j)+w(j+1,i))\)
可以将\(f(i)\)看作\(f(1,i)\)，根据定理二：只要\(w\)满足区间包含单调和四边形不等式，\(f\)也满足区间包含单调和四边形不等式，根据定理一：\(s(i-1)\leq s(i)\)就将时间复杂度从\(O(n^2)\)降到了\(O(n)\)
题目：