前言
在一些DP中，三重的循环容易造成超时，那么又什么方法来优化呢?
当然有，有一种叫做平行四边形不等式的玩意优化DP
平行四边形不等式
如果有两个区间满足 f[a][c]+f[b][d]<=f[b][c]+f[a][d]，那么这个东东就是平行四边形不等式
可以这样理解，交叉或包含的两个区间，a到c和b到d的值满足小于等于包含的两个区间（bc被包含于ad）
还有就是决策单调性
w[i,j]<=w[i',j'] ([i,j]属于[i',j']) 既 i'<=i<j<=j'
平行四边形不等式的性质
这玩意儿有什么性质，对边互相平行？
非也，这玩意儿有两个性质
定义一个 动态转移方程 f [ i ][ j ] = min ( f [ i ][ j ] , f[ i - 1 ][ k ] + w[ k - 1 ][ j ] )
一. 如果w满足决策单调性 且满足平行四边形不等式那么 f 也满足四边形不等式
二. 当定理一的条件满足时，让f [ i ][ j ]取最优值的minx为minx[ i , j ]，则minx[ i - 1 , j ] <= minx[ i , j ] <= minx[ i , j + 1 ]
DP优化
有一动态转移方程 f [ i ][ j ] = min ( f [ i ][ j ] , f[ i - 1 ][ k ] + w[ k - 1 ][ j ] ) ，满足平行四边形不等式，那么其决策性s[ i ] [ j ] 满足
s[ i - 1 ][ j ] <= s[ i ][ j ] <= s[ i ][ j + 1 ] , 这样就可以约束 k （只用从s[ i - 1 ][ j ] 循环到s[ i ][ j + 1 ] ，因为其最优决策性必定在这当中），减少 k 的循环次数，从而减少一重循环。
例题详解
想要熟练的掌握平行四边形不等式优化DP，就先看看这些例题吧