今天刚学了树状数组,理解还不是很透彻,写点东西加深理解、记忆
树状数组的结构(C数组表示树状数组,A数组表示普通的数组)
先给出几个概念和性质
-
lowbit
:顾名思义,将一个十进制数转换为二进制,最低位1所对应的值就是该数的lowbit
值。lowbit(a)
=(a&(-a))
例如5转换为二进制数为101,最低位1对应的值为1,那么lowbit(5)就是1。其实如果这个二进制数末尾0的个数为k,那么lowbit(a)=2^k。 -
在树状数组中,元素
C[i]
是lowbit(i)
个A数组元素的和。 -
在树状数组中,两个连接的元素
C[i]
和C[j]
(如C[3]和C[4]、C[4]和C[8]),他们的下标相差lowbit(i)
。也就是说i
+lowbit(i)
=j
,j
-lowbit(i)
=i
。这在下面的单点修改和区间查询中都不可或缺。 -
区间查询用到了前缀和知识:求
[a,b]
的和,可以用SUM[b]
-SUM[a-1]
。 -
观察上图,显然,在树状数组中,SUM[i]!=C[1]+C[2]+C[3]+…+C[i],而是
C[i]
+C[i-lowbit[i]]
+…,例如SUM[3]=C[3]+C[3-1]=C[3]+C[2]、SUM[7]=C[7]+C[7-1]+C[6-2]+C[4-2]=C[7]+C[6]+C[4]+C[2]。
下面用一个模板题来讲解:洛谷 树状数组1
一个很常见也很简单的单点修改和区间查询问题。
在学树状数组前有两种比较常见的解法:
1. 单点修改直接修改值,区间查询时间复杂度是O(n)
。
2.使用前缀和优化区间查询,这样可以把查询的时间复杂度优化到O(1)
,但是单点修改的复杂度会上升到O(n)
。
而使用树状数组的话两者的时间复杂度都是O(logn)
。
先来看单点修改,显然,结合上面给出的性质,修改了树状数组C[i]
的值之后,所有涵盖了C[i]的元素全都要变,又因为C[i]
的上一元素C[j]
,有i+lowbit(i)=j,那么我们只需不断向上递推,把所有包含i的元素都修改即可。
再来看区间查询,上面的最后一条性质也已经说到树状数组前缀和的规律,我们要求[a,b]
的区间和,只需用 SUM[b]-SUM[a-1] 即可。
AC代码:
//https://blog.csdn.net/hesorchen
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define lowbit(a) (a & (-a))
#define mod 1000000007
#define endl "\n"
int n, m;
int c[2000005];
void update(int i, int k) //更新树状数组
{
while (i <= n)
{
c[i] += k;
i += lowbit(i);
}
}
int getsum(int i) //求出[1,i]的区间和
{
int ans = 0;
while (i > 0)
{
ans += c[i];
i -= lowbit(i);
}
return ans;
}
int main()
{
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
int a;
cin >> a;
update(i, a); //输入也可理解为更新
}
while (m--)
{
int s1, s2, s3;
cin >> s1 >> s2 >> s3;
if (s1 == 1)
update(s2, s3);
else
printf("%d\n", getsum(s3) - getsum(s2 - 1)); //前缀和性质
}
return 0;
}