替罪羊树 模板

替罪羊树是计算机科学中，一种基于部分重建的自平衡二叉搜索树。
在替罪羊树上，插入或删除节点的平摊最坏时间复杂度是O(log n)，搜索节点的最坏时间复杂度是O(log n)。

替罪羊树的主要思想就是将不平衡的树压成一个序列,然后暴力重构成一颗平衡的树。
在非平衡的二叉搜索树中，每次操作以后检查操作路径，找到最高的不平衡的结点，重建整个子树。
这里的平衡指的是：
对于某个 $0.5 <= alpha <= 1$满足这个节点的两棵子树的 size 都不超过以该节点为根的子树的 $size$乘以 $alpha$，或被删除的节点数小于子树 $size$的30%，那么就称这个子树是平衡的。
平衡因子 $alpha$一般选择0.75 。
至于复杂度，虽说是重构，但复杂度并不高，均摊下来替罪羊树的总复杂度是O(logn)的。
暴力即优雅

存储

struct node
{
	int lc,rc;
	int val;  //值
	int cnt;  //相同节点个数.若为零,则该节点不存在.
	int size,fact; //全部节点个数和实际节点个数 
	#define lc(x) tzy[x].lc
	#define rc(x) tzy[x].rc 
	#define c(x) tzy[x].cnt 
	#define s(x) tzy[x].size 
	#define f(x) tzy[x].fact 
	#define v(x) tzy[x].val
};
node tzy[N];

重构

0.检查是否平衡

void check(int &k,const int &end) //自上而下检查，这样可以防止一个部分被重构两次
{
	if(k==end) return;
	if(!balance(k)) {
		rebuild(k);
		update(root,k);
		return;
	}
	if(v(end)<v(k)) check(lc(k),end);
	else check(rc(k),end);
	return;
}

1.核心

void rebuild(int &k)
{
	tmp.clear();
	ldr(k);
	if(tmp.empty()) { k=0; return; }
	lift(0,tmp.size()-1,k);
	return;
}

2.判断是否平衡

const double alpha = 0.75;

bool balance(const int &k)
{
	if(max(s(lc(k)),s(rc(k)))>s(k)*alpha||s(k)-f(k)>s(k)*0.3)
		return false;
	return true; 
}

3.中序遍历(拍扁操作)

将得到一个上升的序列

vector<int> tmp;

void ldr(const int &k)
{
	if(!k) return;
	ldr(lc(k));
	if(c(k)) 
		tmp.push_back(k);
	ldr(rc(k));
	return;
}

4.分治重构

void lift(int l,int r,int &k)
{
	if(l==r) {
		k=tmp[l];
		s(k)=f(k)=c(k); 
		lc(k)=rc(k)=0;
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	k=tmp[mid];
	if(l<mid) lift(l,mid-1,lc(k));
	else lc(k)=0;
	lift(mid+1,r,rc(k));
	s(k)=s(lc(k))+s(rc(k))+c(k);
	f(k)=f(lc(k))+f(rc(k))+c(k);
	return;
}

5.更新size

void update(const int &k,const int &end)
{
	if(k==end) return;
	if(v(end)<v(k)) 
		update(lc(k),end);
	else update(rc(k),end);
	s(k)=s(lc(k))+s(rc(k))+c(k);
	return;
}

插入

void insert(int &k,const int &key)
{
	if(!k) { //申请新节点
		k=++pool;
		v(k)=key;
		lc(k)=rc(k)=0;
		c(k)=s(k)=f(k)=1;
		check(root,k); //检查
		return;
	}
	++s(k); ++f(k);
	if(v(k)==key) ++c(k);
	else if(key<v(k)) 
		insert(lc(k),key);
	else insert(rc(k),key);
	return;
}

删除

void erase(int &k,const int &key)
{
	if(v(k)==key&&c(k)) {
		--f(k); --c(k); //只打标记,不真正删除.
		check(root,k); //检查
		return;
	}
	--f(k);
	if(key<v(k)) erase(lc(k),key); 
	else erase(rc(k),key);
	return;
}

查询 x 数的排名

（若有多个相同的数，因输出最小的排名）

inline int getrank(const int &key)
{
	int now=root,res=1;
	while(now) {
		if(key==v(now)) return res+f(lc(now));
		if(key<v(now)) now=lc(now);
		else res+=f(lc(now))+c(now),now=rc(now);
	}
	return res;
}

查询排名为 x 的数

inline int getnum(int rank) 
{
	int now=root;
	while(now) {
		if(c(now)>0&&f(lc(now))<rank&&f(lc(now))+c(now)>=rank) 
			return v(now);
		if(f(lc(now))>=rank) now=lc(now);
		else rank-=f(lc(now))+c(now),now=rc(now);
	}
	return 0;
}

这里需要一个查找操作

inline int find(const int &key)
{
	int now=root;
	while(now) {
		if(v(now)==key) { return c(now) ? now : 0; }
		if(key<v(now)) now=lc(now);
		else now=rc(now);
	}
	return now;
}

//若存在返回 $key$的下标，否则返回0；

求 x 的前趋

（前趋定义为小于 x，且最大的数）

inline int Query_pre(const int &key)
{
	return getnum(getrank(key)-1);
}

求 x 的后继

（后继定义为大于 x，且最小的数）

inline int Query_suf(const int &key) 
{
	return getnum(getrank(key)+c(find(key)));
}

完整代码

//普通平衡树
#include<bits/stdc++.h>
#define INF 2147483646
using namespace std;
const int N = 1e6+5;
const double alpha = 0.75;
struct node
{
	int lc,rc;
	int val;  
	int cnt;
	int size,fact;
	#define lc(x) tzy[x].lc
	#define rc(x) tzy[x].rc 
	#define c(x) tzy[x].cnt 
	#define s(x) tzy[x].size 
	#define f(x) tzy[x].fact 
	#define v(x) tzy[x].val
};
node tzy[N];
int pool,root;
vector<int> tmp;
bool balance(const int &k)
{
	if(max(s(lc(k)),s(rc(k)))>s(k)*alpha||s(k)-f(k)>s(k)*0.3)
		return false;
	return true; 
}
void ldr(const int &k)
{
	if(!k) return;
	ldr(lc(k));
	if(c(k)) 
		tmp.push_back(k);
	ldr(rc(k));
	return;
}
void lift(int l,int r,int &k)
{
	if(l==r) {
		k=tmp[l];
		s(k)=f(k)=c(k); 
		lc(k)=rc(k)=0;
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	k=tmp[mid];
	if(l<mid) lift(l,mid-1,lc(k));
	else lc(k)=0;
	lift(mid+1,r,rc(k));
	s(k)=s(lc(k))+s(rc(k))+c(k);
	f(k)=f(lc(k))+f(rc(k))+c(k);
	return;
}
void rebuild(int &k)
{
	tmp.clear();
	ldr(k);
	if(tmp.empty()) { k=0; return; }
	lift(0,tmp.size()-1,k);
	return;
}
void update(const int &k,const int &end)
{
	if(k==end) return;
	if(v(end)<v(k)) 
		update(lc(k),end);
	else update(rc(k),end);
	s(k)=s(lc(k))+s(rc(k))+c(k);
	return;
}
void check(int &k,const int &end)
{
	if(k==end) return;
	if(!balance(k)) {
		rebuild(k);
		update(root,k);
		return;
	}
	if(v(end)<v(k)) check(lc(k),end);
	else check(rc(k),end);
	return;
}
void insert(int &k,const int &key)
{
	if(!k) {
		k=++pool;
		v(k)=key;
		lc(k)=rc(k)=0;
		c(k)=s(k)=f(k)=1;
		check(root,k);
		return;
	}
	++s(k); ++f(k);
	if(v(k)==key) ++c(k);
	else if(key<v(k)) 
		insert(lc(k),key);
	else insert(rc(k),key);
	return;
}
void erase(int &k,const int &key)
{
	if(v(k)==key&&c(k)) {
		--f(k); --c(k);
		check(root,k);
		return;
	}
	--f(k);
	if(key<v(k)) erase(lc(k),key);
	else erase(rc(k),key);
	return;
}
inline int getnum(int rank) 
{
	int now=root;
	while(now) {
		if(c(now)>0&&f(lc(now))<rank&&f(lc(now))+c(now)>=rank) 
			return v(now);
		if(f(lc(now))>=rank) now=lc(now);
		else rank-=f(lc(now))+c(now),now=rc(now);
	}
	return 0;
}
inline int getrank(const int &key)
{
	int now=root,res=1;
	while(now) {
		if(key==v(now)) return res+f(lc(now));
		if(key<v(now)) now=lc(now);
		else res+=f(lc(now))+c(now),now=rc(now);
	}
	return res;
}
inline int find(const int &key)
{
	int now=root;
	while(now) {
		if(v(now)==key) { return c(now) ? now : 0; }
		if(key<v(now)) now=lc(now);
		else now=rc(now);
	}
	return now;
}
inline int Query_pre(const int &key)
{
	return getnum(getrank(key)-1);
}
inline int Query_suf(const int &key) 
{
	return getnum(getrank(key)+c(find(key)));
}
int n;
/*
1、插入 x 数；
2、删除 x 数（若有多个相同的数，因只删除一个）；
3、查询 x 数的排名（若有多个相同的数，因输出最小的排名）；
4、查询排名为 x 的数；
5、求 x 的前趋（前趋定义为小于 x，且最大的数）；
6、求 x 的后继（后继定义为大于 x，且最小的数）。
*/
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	int opt,x;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		scanf("%d%d",&opt,&x);
		switch(opt) {
			case 1 : insert(root,x); break;
			case 2 : erase(root,x); break;
			case 3 : printf("%d\n",getrank(x)); break;
			case 4 : printf("%d\n",getnum(x)); break;
			case 5 : printf("%d\n",Query_pre(x)); break;
			case 6 : printf("%d\n",Query_suf(x)); break; 
		}
	}
//	getchar();
	return 0;
}