【计算机组成原理 & 数字逻辑 & Verilog】32位加法器的实现：支持整数的加减运算

0 前言

0.1 使用环境

• EDA工具：Vivado 2017.4
• 硬件描述语言：Verilog HDL

0.2 知识点

• 加法器（全加器）
• 多路选择器
• Verilog 语言及其设计思想
• 补码

0.3 注意事项

本文中所有的Verilog实现部分，均完成了仿真测试，并未进行时序验证以及后续的逻辑综合步骤，后续步骤可能会出现问题，请读者自行完成修改。

1 建模：1位加法器

我们先来构建1位加法器，要知道，32位加法器只不过是将32个1位加法器以特定的方式连接起来，真正的核心是1位加法器的设计。

1.1 构建基础模型

1.1.1 一位加法器

1.1.1.1 科技黑箱：外部端口与功能

功能：能够实现整数的加减法，这也就意味着

1. 支持正数和负数，支持加法和减法（事实上，a+(-b) = a - b;负数与减法某种程度上来说，是一样的）
2. 能够识别正负数，并且能够做出不同的选择
   1. 遇到正数、加法，直接运算
   2. 遇到负数、减法 ，转换为补码再运算

• 输入端口
  • 数据：a，b
  • 进位：carry_in
  • 取反控制：a_invert，b_invert
• 输出端口
  • 和：sum
  • 进位：carry_out

特别注意：对于多个加法器组合的情况，carry_in是来自上一个加法器的carry_out，如果位置是第一个，则要置为0

1.1.1.2 揭秘黑箱：内部结构与模块

内部线网：不与外部相连的内部线，就是内部线网，在Verilog设计中需要单独加上！

1.1.2 从顶层模块提取低层模块：取反功能选择器

1.1.2.1 科技黑箱：外部端口与功能

下图图示部分为取反功能选择器，其功能是控制输入的数据是否执行取反操作

以下是其外部端口：

1.1.2.2 揭秘黑箱：内部结构与模块

多路选择器的全面讲解参考我的另一篇文章：全面剖析数据选择器

1.1.3 从顶层模块提取低层模块：基础加法器

1.1.3.1 科技黑箱：外部端口与功能

1.1.3.2 揭秘黑箱：内部结构与模块

使用数据流建模，两个逻辑表达式就可以，这个部分是数字逻辑必备知识，不再赘述。

1.2 层次建模

1.2.1 32位加法器

1.2.2 1位加法器

2 实现：1位加法器

2.1 取反选择器

2.1.1 设计块

`timescale 1ns / 1ps

// 取反选择器的设计
module date_invert_choose (
    input a,            // 数据输入
    input a_invert,     // 使能端         
    output a_out        // 数据输出
    );
    
    choose_2to1 CH0 (a,~a,a_invert,a_out);  // 调用二选一选择器实例
    
endmodule

// 二选一选择器
module choose_2to1 (
    input d0,d1,    // 数据输入
    input add,      // 地址控制
    output out      // 数据输出
    );
    
    assign out = (~add)&d0 | add&d1;
    
endmodule

FPGA优化结果如下：

2.1.2 激励块

设置激励块有两个口诀：

• 调用模块，建实例
• 设置输入，验输出

`timescale 1ns / 1ps

module test;

    // 设置变量
    reg a;          // 数据输入
    reg a_invert;   // 控制输入
    wire a_out;     // 数据输出       
    
    // 调用实例【调用模块建实例】
    date_invert_choose DIC0 (a,a_invert,a_out); // 【不要忘了实例名！只有门级描述可以不写】
    
    // 设置信号【设置输入，看输出】
    initial
    begin
        a = 1;
    
        a_invert = 0;
        #1 $display("功能%b，直接输出：a_out = %b\n",a_invert,a_out);
        
        a_invert = 1;
        #1 $display("功能%b，取反输出：a_out = %b\n",a_invert,a_out);
    end
    
endmodule

2.1.3 功能验证

仿真结果没有问题！

2.2 基础加法器

2.2.1 设计块

module add_base_1size (
    input a,b,          // 数据输入
    input carry_in,     // 进位输入
    output carry_out,   // 进位输出
    output sum          // 和
    );
    
    assign sum = a ^ b ^ carry_in;
    assign carry_out = a&b | (a^b)&carry_in;

endmodule

2.2.2 激励块

请读者自行完成

2.2.3 功能验证

经过仿真验证，没有问题。

2.3 1位加法器的实现

本节展现的是完整代码，包含2.1和2.2的设计块代码

2.3.1 设计块

`timescale 1ns / 1ps

// 取反选择器的设计
module date_invert_choose (
    input a,            // 数据输入
    input a_invert,     // 使能端         
    output a_out        // 数据输出
    );
    
    choose_2to1 CH0 (a,~a,a_invert,a_out);  // 调用二选一选择器实例
    
endmodule

// 二选一选择器
module choose_2to1 (
    input d0,d1,    // 数据输入
    input add,      // 地址控制
    output out      // 数据输出
    );
    
    assign out = (~add)&d0 | add&d1;
    
endmodule

// 基础加法器
module add_base_1size (
    input a,b,          // 数据输入
    input carry_in,     // 进位输入
    output carry_out,   // 进位输出
    output sum          // 和
    );
    
    assign sum = a ^ b ^ carry_in;
    assign carry_out = a&b | (a^b)&carry_in;

endmodule

// 1位加法器的实现
module add_1size (
    input a,b,      // 数据输入
    input a_invert,b_invert,    //  求反控制
    input carry_in,     
    output carry_out,
    output sum
    );
    
    // 内部线网设置
    wire a_out,b_out;   // 获得经过求反选择器之后的结果
    
    // 调用模块实例
    
    // 求反控制器实例
    date_invert_choose DateA (a,a_invert,a_out);
    date_invert_choose DateB (b,b_invert,b_out);
    // 加法器实例
    add_base_1size Add_A_B (a_out,b_out,carry_in,carry_out,sum);
    
endmodule

2.3.2 激励块&功能验证

module test;

    reg a,b;    // 注意reg为无符号数
    reg a_invert,b_invert;
    reg carry_in;
    wire carry_out;
    wire sum;

    add_1size AD0 (a,b,a_invert,b_invert,carry_in,carry_out,sum);
    
    // 设置信号，求 a + （-b）即 a - b
    initial
    begin
        a = 0;  b = 0;
        a_invert = 0;   b_invert = 1;   // b取反
        carry_in = 1;   // b取反加1
        #1 $display("a = %b,  b = %b,  carry_out = %b\na - b = %b\n",a,b,carry_out,sum); // 模拟 a - b
        if (sum == 0)
        	$display("验证成功！ 0 - 0 = 0");
    end
    
endmodule

这里的验证我有必要讲解一下，因为有些地方会令人费解。

1. reg为无符号数，如果直接像reg a = -1这样的语法，存到计算机中是自动以补码形式存储的，那样的话就没有办法验证我们的设计了。要明白的一点是，我们是假定计算机不会自动将负数转换为补码，由我们的设计来实现这个工作，因此，这里我直接手动输入了某个数的原码，再有我们的设计将其转换为补码，这样就完成了验证工作。
2. 我们假定在十进制下，a > 0，-b < 0，我们要求出 a + （-b）的值，并且这台计算机没有将-b存储为补码的功能，我们又知道b的二进制形式就是其补码，它在经过全部按位取反再加1后，会得到-b的补码，因此也就有了激励块中的b = 0;和carry_in = 1;，这是为了验证取反加1功能是否正确。
3. 实际的过程是这样的：a + b取反 + 1 = a + (-b) = a - b，这样就是能够让你明白两件事，负数的补码转换和减法转换为加法它的实际过程是这样的：a = 0,b = 0，故a + b取反 + 1 = 0 + 1 + 1 = 10也就是sum = 0；carry_out = 1；

3 原理讲解：实现整数减法，将负数转换为补码

本小节可以跳过，可以看完第4节再回看。

3.1 计算机进制数与人类进制数的差别

计算机进制数指的是

• 二进制
• 八进制
• 十六进制

人类进制数指的是

• 十进制

两者差别主要在于，十进制数使用 -来表示负数，而计算机进制数使用补码来表示负数，在其数据本身，就包含了符号，而十进制数据是不包含符号位的，它的符号位是单独存在的。这也是机器数数据符号化的特点。

而人类又习惯于使用十进制，这才有了负数的补码转换方法及其硬件设计逻辑。

在这里重点强调，不要理会原码、反码，这是历史上已经被淘汰的东西，他们跟补码，只是有数学上的联系，以及历史原因。

但是，从十进制数转换为补码这一过程跟原码、反码完全没有关系，很多教材和老师的讲解都是不正确的。

我们只需要记住以下原则：

3.1.1 十进制数转换为补码的原理

请注意，这里十进制数的对象为：全体实数，包含整数和小数，他们都适用于补码转换规则，重要的一点区别是在计算机存储上

• 计算机存储整数，直接使用补码表示
• 计算机存储小数，使用的是浮点表示，关于这一点请详细阅读浮点运算的知识

在这里，我们以十进制整数为例来进行说明

• 对于正数，这个非常容易，直接使用除基取余法即可，高位需要用0补全
  例如（假定寄存器为16位）：
  200D = 0000_0000_1100_1000B
• 对于负数，需要遵循这样的规则：全部取反再加1

例如 -2D：

（1）先表示出2D = 0000_0000_0000_0010B

（2）再全部取反，1111_1111_1111_1101B

（3）再加1，1111_1111_1111_1110B

（4）这样得到的结果就是 -2D的补码

需要注意的是，此时如果高位有空余，需要补上1，而不是0

其中，我之前提到的取反功能选择器，就是完成了取反操作，但是还有加1操作呢？我们继续看下一小节！

3.2 进位输入信号carry_in的作用

我在1.1.1.1节提到过，carry_这个信号，初始需要置为0，加法器单独存在一个的时候，它是不太重要的。

只有多个加法器连在一起（串行进位，第3节会提及）的时候，上一级的carry_in与下一级的carry_out连接起来，才能发挥作用。

但是，如果初始将carry_in置为1，就能够发挥它的作用了，它在补码转换过程，起到了加1的作用。

无论输入的数据是1位还是32位，加1只需要在最低位加1，也就是只需要把单独存在的，不与carry_out连接的caryy_in置为1，就能实现加1操作。

		  十进制的2：0000 0000 0000 0010
		  先取反：   1111 1111 1111 1101
		  再加1:   +                   1
		         ————————————————————————
		            1111 1111 1111 1110
	其中：取反操作使用取反选择器完成
	     加1操作只需将carry_in置为1

这样一来，取反选择器与carry_in = 1紧密合作，就完成了十进制数到补码的转换，也就实现了整数的加减法。

备注：如果这个部分看不懂，请看完第3节再回看此节。

至此，我想你能够理解实现整数减法的硬件设计原理了。

---

思考点：

这里留一个问题给读者思考，试想，如果采用大多数老师讲解的原码、反码和补码的原则去转换补码，硬件设计会是怎样的？

这里我直接给你结果分析，具体设计不再讲解，自行完成。
显然，按照这样的方式，设计会非常复杂，而且没有必要，既违背了硬件设计简单性原则，也增加了数学运算的复杂度

一般老师讲解的原码、反码和补码的转换方式是

• 先求原码，再求反码，再求补码

我教你的是

• 全部取反再加1

这二者是区别就是

• 前者教你 1 + 10 - 9 = 2
• 后者教你： 1 + 1 = 2

对比之下，哪个更加简洁不言而喻，事实上，这些都是人为规定，怎么计算都可以，在数学上都说的通，但是要考虑硬件简单性原则，后者显然更加占优势。

---

假定a,b均为非负整数，则：
a - b = a + ( b取反 + 1 )

但是事实的情况往往会更加复杂，比如：-a - b又如何处理？

目前从原理上能够实现减法，但这远远不够，还需要根据实际需求进一步改进，这就涉及到了将其添加到MIPS指令上，这个以后再说。

3 建模：32位加法器

这里采用串行进位方式进行连接，并非并行进位（超前进位）。

关于基础加法器的超前进位实现，参照我的文章：全面剖析：加法器——从1位到4位，从一般加法（串行进位）到快速加法（并行进位/超前进位）【此处链接待完善】

3.1 科技黑箱：外部端口

3.2 揭秘黑箱：内部细节

3.2.1 组合式设计的核心原则

• 全部接口都连接，分三大类
  • 与外部总线连接
  • 与外部一根线连接
  • 内部相互连接（配置内部线网，一般为数组）

4 实现：32位加法器

4.1 设计块

此处直接使用前面设计好的1位加法器，再次强调，此处为串行进位

module add_32sizes (
    input [31:0] a,b,
    input a_invert,b_invert,
    input carry_in,
    output carry_out,
    output [31:0] sum
    );
    
    // 设置内部线网
    wire carry_out_in [30:0];   // 内部串行进位传递
    
    // 调用模块实例
    add_1size ADD0 (a[0],b[0],a_invert,b_invert,carry_in,carry_out_in[0],sum[0]);
    add_1size ADD1 (a[1],b[1],a_invert,b_invert,carry_out_in[0],carry_out_in[1],sum[1]);
    add_1size ADD2 (a[2],b[2],a_invert,b_invert,carry_out_in[1],carry_out_in[2],sum[2]);
    add_1size ADD3 (a[3],b[3],a_invert,b_invert,carry_out_in[2],carry_out_in[3],sum[3]);
    add_1size ADD4 (a[4],b[4],a_invert,b_invert,carry_out_in[3],carry_out_in[4],sum[4]);
    add_1size ADD5 (a[5],b[5],a_invert,b_invert,carry_out_in[4],carry_out_in[5],sum[5]);
    add_1size ADD6 (a[6],b[6],a_invert,b_invert,carry_out_in[5],carry_out_in[6],sum[6]);
    add_1size ADD7 (a[7],b[7],a_invert,b_invert,carry_out_in[6],carry_out_in[7],sum[7]);
    
    add_1size ADD8 (a[8],b[8],a_invert,b_invert,carry_out_in[7],carry_out_in[8],sum[8]);
    add_1size ADD9 (a[9],b[9],a_invert,b_invert,carry_out_in[8],carry_out_in[9],sum[9]);
    add_1size ADD10 (a[10],b[10],a_invert,b_invert,carry_out_in[9],carry_out_in[10],sum[10]);
    add_1size ADD11 (a[11],b[11],a_invert,b_invert,carry_out_in[10],carry_out_in[11],sum[11]); 
    add_1size ADD12 (a[12],b[12],a_invert,b_invert,carry_out_in[11],carry_out_in[12],sum[12]);
    add_1size ADD13 (a[13],b[13],a_invert,b_invert,carry_out_in[12],carry_out_in[13],sum[13]);
    add_1size ADD14 (a[14],b[14],a_invert,b_invert,carry_out_in[13],carry_out_in[14],sum[14]);
    add_1size ADD15 (a[15],b[15],a_invert,b_invert,carry_out_in[14],carry_out_in[15],sum[15]);
    
    add_1size ADD16 (a[16],b[16],a_invert,b_invert,carry_out_in[15],carry_out_in[16],sum[16]);
    add_1size ADD17 (a[17],b[17],a_invert,b_invert,carry_out_in[16],carry_out_in[17],sum[17]);
    add_1size ADD18 (a[18],b[18],a_invert,b_invert,carry_out_in[17],carry_out_in[18],sum[18]);
    add_1size ADD19 (a[19],b[19],a_invert,b_invert,carry_out_in[18],carry_out_in[19],sum[19]);
    add_1size ADD20 (a[20],b[20],a_invert,b_invert,carry_out_in[19],carry_out_in[20],sum[20]);
    add_1size ADD21 (a[21],b[21],a_invert,b_invert,carry_out_in[20],carry_out_in[21],sum[21]);
    add_1size ADD22 (a[22],b[22],a_invert,b_invert,carry_out_in[21],carry_out_in[22],sum[22]);
    add_1size ADD23 (a[23],b[23],a_invert,b_invert,carry_out_in[22],carry_out_in[23],sum[23]);
    
    add_1size ADD24 (a[24],b[24],a_invert,b_invert,carry_out_in[23],carry_out_in[24],sum[24]);
    add_1size ADD25 (a[25],b[25],a_invert,b_invert,carry_out_in[24],carry_out_in[25],sum[25]);
    add_1size ADD26 (a[26],b[26],a_invert,b_invert,carry_out_in[25],carry_out_in[26],sum[26]);
    add_1size ADD27 (a[27],b[27],a_invert,b_invert,carry_out_in[26],carry_out_in[27],sum[27]);
    add_1size ADD28 (a[28],b[28],a_invert,b_invert,carry_out_in[27],carry_out_in[28],sum[28]);
    add_1size ADD29 (a[29],b[29],a_invert,b_invert,carry_out_in[28],carry_out_in[29],sum[29]);
    add_1size ADD30 (a[30],b[30],a_invert,b_invert,carry_out_in[29],carry_out_in[30],sum[30]);
    add_1size ADD31 (a[31],b[31],a_invert,b_invert,carry_out_in[30],carry_out,sum[31]);
    
endmodule

4.2 激励块

注意，因为在Verilog中，reg自动以二进制补码形式存储，所以此处验证负数的时候，我们假定计算机没有以补码存储这一功能，我们假定b = -5，并且手动设置b的值，将b的值设置为5的补码，5的补码就是其二进制表示0101B，以此来验证5的补码经过全部取反加1后，是否变成了-5的补码，从而验证了设计的正确性。

如果你没有看懂，那么请看完第6节的补充链接，再回顾此内容。

module test;

    reg [31:0] a,b;    // 注意reg为无符号数
    reg a_invert,b_invert;
    integer carry_in;
    wire carry_out;
    wire [31:0] sum;

    add_32sizes AD0 (a,b,a_invert,b_invert,carry_in,carry_out,sum);
    
    // 设置信号，假设b = -5；a = 8；求a + b 
    initial
    begin
        a = 4'b1000;    // 8的补码
        b = 4'b0101;    // reg为无符号数，自动把-5存为补码，无法验证结果，因此使用 |-5| = 5 的补码
        a_invert = 0;   b_invert = 1;   // b取反
        carry_in = 1;   // b取反加1
        #1 $display("a = %d,  b = -%d\na + b = %d\n",a,b,sum); // 模拟 a - b
        if(sum == 3)
            $display("验证成功！ 8 + (- 5) = 3");
    end
    
endmodule

4.2.1 报错解决方案

对于这样的错误：[XSIM 43-3238] Failed to link the design.

通常情况下，是因为激励块与设计块的连接出了问题，可能是

• 模块调用错误
• 模块忘记实例化
• 模块接口连接错误

可以按照这个思路依次排查

4.3 仿真验证

5 行为级建模的魅力

前面说了那么多，其实，真正硬件编程的时候没有那么麻烦，强大的EDA工具让我们能够只需要描述其行为，就能完成设计，这是抽象层次足够高的设计，让我们来看一下。

这里你可能想要摔电脑了，什么？？？？我做了这么半天，实际上只需要几行？？那你写了这么多有啥用！！

冷静一下，仔细想一下，你是不是在之前的操作中，对于加法器已经非常熟悉了？如果你认真做了，我想应该是的，这就是Learning by doing，在做中学，能够快速掌握知识，加深对于知识的理解程度，这一点是很必要的，因此你必须花时间来完成它。

5.1 设计块

module add_32bits(
    input [31:0] a,b,
    input ADDctl,   // 控制端，用于识别加减法 0代表加法，1代表减法
    output reg [31:0] result
    );
    
    always @(a,b,ADDctl)
    begin
        case(ADDctl)
            0: result = a + b;
            1: result = a - b;
        endcase
    end
    
endmodule

5.2 激励块

module test;

    // reg signed [31:0] a,b;
    integer a,b;
    reg ADDctl;
    wire signed [31:0] result;
    
    add_32bits ADD_0 (a,b,ADDctl,result);
    
    initial
    begin
        // 测试加法
        a = -1;  b = 20;     
        ADDctl = 0;
        #1 $display("%d + %d = %d",a,b,result);
        #1
        // 测试减法  【1-20= 溢出值，因为不识别补码！？？？怎么办】
        a = -10;  b = 28;     
        ADDctl = 1;
        #1 $display("%d - %d = %d",a,b,result);
    end
    
endmodule

5.3 结果验证

5.4 思考点

1. reg类型将负数以补码存储，实现了减法变为加法，那么Verilog中为何还有减法运算？
2. Verilog中负数以补码形式存储，令其以%d形式输出的时候，并不会显示负数，而是显示一个超大的正数，如何解决？
3. 如何正确显示激励块输入的负数，输入端口的reg类型，可否使用integer类型？

以上问题，看完下一小结的扩展链接，你就能得知答案。

6 由行为级描述掌握几大重要思想

设计的思想有

• 分治思想
• 归一思想
• 实战验证思维
• 查阅资料的能力

我单独写了一篇文章，以阐述一些重要的理论和思想。请看：待完善

7 待求解决方案的错误

[XSIM 43-3345] Unable to remove previous simulation file xsim.dir/test_behav/xsimk.exe. Please check if you have another instance of this simulation running on your system, terminate it and then recompile your design. System Error Message: boost::filesystem::status: 拒绝访问。: "xsim.dir/test_behav/xsimk.exe".

[XSIM 43-3238] Failed to link the design.

我不知道为什么会拒绝访问，并且此状态下，系统不能删除文件，唯一的办法就是重新建立一个文件，并且将设计块和激励块copy过去。

问题待解决中！如有读者知道解决方案，欢迎私聊我~