codeforces 498B

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题意

用T秒时间按顺序听N首歌，第i首歌播放时间为ti秒，且每播放一秒都会有pi的概率被识别出来，跳到下一首。若某首歌播放时间过完仍未被识别出，也跳到下一首。若时间有剩余而歌已全部听完则直接结束。求听歌数量的期望。1≤N,T≤5000

解法

DP
首先考虑一个暴力dp：
dp[i][j]表示听了前i首歌，花了j的时间的概率。然后转移考虑枚举最后一首歌花了多少时间:
$dp[i][j]=\sum dp[i-1][j-k]*(1-p[i])^k*p[j]$,这个是不考虑一首歌有时长限制的转移
如果要考虑，就是限制一下k的枚举范围，加一下特判就好了。

然后考虑dp[i][j]和dp[i][j-1]的方程长得很像，然后考虑从dp[i][j-1]直接推导到dp[i][j]
考虑k的枚举范围有哪些不同之处，就可以了。
最后代码里统计答案的方式是因为期望的线性性，所以可以直接加上每个dp[i][j]，可以理解为我们把每首歌的出现期望给加了起来。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=5005;
inline int read(){
	char c=getchar();int t=0,f=1;
	while((!isdigit(c))&&(c!=EOF)){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while((isdigit(c))&&(c!=EOF)){t=(t<<3)+(t<<1)+(c^48);c=getchar();}
	return t*f;
}
int n,T;
double p[maxn],dp[maxn][maxn];
int t[maxn];
int main(){
	n=read(),T=read();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		p[i]=read(),t[i]=read();
		p[i]/=100;
	}
	dp[0][0]=1;
	double sum=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		double ans=0,tp=pow(1-p[i],t[i]);
		for(int j=i;j<=T;j++){
			ans+=dp[i-1][j-1];
			if(j-t[i]>=1)ans-=dp[i-1][j-t[i]-1]*tp;
			dp[i][j]=ans*p[i];
			if(j-t[i]>=0)dp[i][j]+=dp[i-1][j-t[i]]*tp;
			ans*=1-p[i];
			sum+=dp[i][j];
		}
	}
	printf("%.9lf\n",sum);
	return 0;
}