递归树：如何借助树来求解递归算法的时间复杂度？

递归树：如何借助树来求解递归算法的时间复杂度？

递归树与时间复杂度分析

递归就是将大问题分解成小问题来求解，将一层一层的分解过程画成图，其实就是一棵树，就是递归树

实战一：分析快排的时间复杂度

用递归树来分析快排的平均情况时间复杂度

每次分区之后，两个分区的大小比例是1：K,取k=9,即每次分区都很不平均，一个分区是另一个分区的9倍，快排过程中，每次分区都要遍历待分区区间的所有数据，所以，每一层分区操作所遍历的数据的个数之和就是n，递归树的高度是h，快排过程遍历的数据个数就是h * n，时间复杂度就是O(h*n)

快排结束的条件就是待排序的小区间大小为1，即叶子节点里的数据规模是1，从根节点n到叶子节点1，递归树中最短的一个路径每次都乘以 $1/10$,最长的一个路径每次都乘以 $9/10$,所以从根节点到叶子节点的最短路径是 $log~2~n$,最长的路径是 $log~10/9~n$,当分区大小比例是1：9，快排时间复杂度是 $O(nlogn)$

如果K = 99，分区及其不平均，两个分区大小是1：99，时间复杂度是多少呢？

K = 99 ，树的最短路径是log100n,时间复杂度仍然是 $O(nlogn)$,不管底数多少，快排的时间复杂度就是 $O(nlogn)$

实战二：分析斐波那契数列的时间复杂度

int f (int n){
  if (n == 1) return 1;
  if(n == 2) return 2;
  return f(n-1) + f(n-2);
}

这棵递归树的高度是多少呢？f(n)分解成f(n-1)& f(n-2)，每次数据规模都是 -1 -2，叶子规模是1 或者2，如果每次都是-1，最长路径是n,如果每次都是-2，最短路径是n/2

每次分解之后的合并操作只需要依次加法运算，从上往下，第一层总时间消耗是1，第二层总时间消耗是2，第三层总时间消耗是 $2^2$,……第k层的时间消耗是 $2^(k-1)$,整个算法的总时间消耗就是每一层时间消耗之和，整个算法的时间复杂度介于 $O(2^n)$,和 $O(2^(n/2))$之间，时间复杂度是指数级的，非常高

实战三：分析全排列的时间复杂度

如何把n个数据的所有排列都找出来？

比如1，2，3三个数据，有6种不同的排列，那么如何通过编程打印一组数据的所有排列呢？可以用递归来实现

我们确定了最后一位数据，就变成了求解剩下n-1个数据的排列，而最后一位数据可以是n个数据中的任意一个，因此它的取值就有n种情况，所以“n个数据的排列”问题就分解成n个“n-1个数据的排列的子问题”

假设数组中存储的是1，2，3……n
f(1,2……n) = {最后一位是1，f(n-1)}  +  {最后一位是2，f(n-1)}   +  {最后一位是n，f(n-1)}

//调用方式：
//int[] a = {1,2,3,4} ;      printPermutations(a ,4,4);
//k表示要处理的子数组的数据个数

public void printPermutations(int[] data , int n , int k){
  if (k == 1){
    for (int i = 0 ;i < n ; ++ i){
      System.out.print(data[i] + " ");
    }
    System.out.println();
  }
  for(int i = 0;i < k ;++i){
    int tmp = data[i] ; 
    data[i] = data[k-1];
    data[k-1] = tmp;
    
    printPermutaations(data , n,k-1);
    
    tmp = data[i];
    data[i] = data[k-1];
    data[k-1] = tmp;
  }
}

每一层分解有n次交换操作，第二层有n个节点，每个节点分解需要n-1次交换，所以第二层总的交换次数是n*(n-1),第三层的交换次数是n*(n-1)(n-2),以此类推

一个细胞的生命周期是3个小时，一个小时分裂一次，求n个小时后，容器内有多少细胞？

以为递推公式是f(n) = f(n-1)*2 - f(n-3)

但是这是错的

因为第一个小时的2个细胞有一个已经在第三个小时死掉了，因此第四个小时只会死1个细胞，所以n=4的时候是13

1，2，4，7，13

死掉的细胞数并不是前3个小时新生的细胞和老细胞，因为老细胞在n时刻已经死掉了，此时死掉的细胞数应该是n-3时刻新生的细胞数，所以正确的递推公式是f(n) = 2f(n-1) - f(n-4)

if(n<0) return 0;
if(n == 0) return 1;
if(n ==1) return 2;
if(n ==2) return 4;
if(n == 3) return 7;

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