递归的思想就是把一个大问题分解为小问题，再把小问题继续分解下去，一直到无法再分为止。所以递归的核心思路就是找到递归公式和终止条件。那么什么是递归树？简单来说，这颗树是由递归的子问题组成树，树的节点就是递归的子问题。
比如斐波那契数列的递归树就是这个样子：
一个节点的求解可以分解为两个左右子节点的求解过程，就这样递归下去形成了斐波那契数列的递归树。
归并排序的时间复杂度分析
归并排序就是将一组数据不断一分为二，将大数组分为小数组，小数组再分为两个小小数组，每次都分为一半一半的数据。如图：
归并排序每次分解数据一分为二所消耗的时间可以考虑为常量1，重点比较耗时的是合并这个操作，合并操作将两个小数组合并为一个大数组，对于归并递归树中每一个层来说，总的归并带来时间复杂度都是一样的，因为每一层的节点数之和其实都是n，我们把每一层的时间消耗记做n，所以其实这颗树的时间复杂度就是树高度h乘以n，即O(h*n),那树的高度是多少？
对于归并排序来说，每次将数组一分为2，最终形成的就是一颗满二叉树，满二叉树的高度大约是logN,所以归并排序的时间复杂度:O(NlogN).
快速排序的时间复杂度分析
快速排序如果每次在分区操作后都可以将数组一分为2的话，其实跟归并排序一样，时间复杂度的递归公式为:
T(1)=C,T(n)=2*T(n/2)+n,容易推导出此时的时间复杂度O(NlogN),但是问题是：并不是每次分区后都可以恰好将数组一分为2！
比如说每次分区后，都将数组分为1：k的大小，假如当k=9时，得出时间复杂度的递归公式就是：
T(1)=C,T(n)=T(n/10)+T(9n/10)+n.这个公式的确可以推导出时间复杂度，但是会非常复杂，所以这里考虑使用递归树来推导。
当k=9，递归树如图：
快速排序中，每次分区操作其实都会遍历待区分区间的所有数据，所以在递归树中每一层遍历的数据个数之和就是n，假如树的高度是n，则这颗递归树的时间复杂度就是O(h*n).
快速排序的终止条件是待排序的区间大小为1，那么在上边的递归树中表现为最终叶子节点数据规模为1，比如n=1000时，f(n/10^3)就等于f(1),达到终止条件，但是f(9n/10^3)=f(9)则需要继续分区，所以这颗递归树中最短路径(最快到达叶子节点)的节点序列是：
n,n/10，n/10^2，n/10^3,...1
以上序列是从根节点到叶子节点的最短路径，即最小高度,等比数列求和结果为：log10(N),即lgN.
同理，最长路径即最大高度就是:
n,9n/10,9^2n/10^2,9^3n/10^3...1
等比数列求和：log10/9(N)
所以，遍历数据的总和就介于lgN到log10/9(N)之间，根据大O表法，统一记做logN.所以当k=9时的时间复杂度就是O(NlogN)
当k=99呢？其实一样是O(NlogN),所以只要k为一个事先确定的数，则快速排序的时间复杂度就是O(NlogN)
菲波那切数列的时间复杂度分析
int f(int n) {
if (n == 1) return 1;
if (n == 2) return 2;
return f(n-1) + f(n-2);
}
这不就是爬梯子的例子吗、斐波那契数列f(n)每次将问题分解为一个f(n-1)和一个f(n-2)如图：
这颗递归树的终止条件为叶子节点为1或者2.所以从根节点到叶子节点如果每次减去1，则最长路径是n，每次都减去2则最短路径是n/2。然后再分析下每层的时间复杂度消耗，时间消耗主要就是每一层合并操作的加法运算，第一层我们记为常量1，那么第二层就是2，第三层2^2,第四层2^3....第k层就是2^k-1.所以总的时间消耗就等于所有层的消耗时间总和。
如果长度都为n则1+2+2^2+2^3+....+2^n-1=2^n-1
如果长度都为n/2,则1+2+2^2+2^3+....+2^(n/2-1)=2^(n/2)-1
所以菲波那切数列的时间复杂度是介于O(2^n)和O(2^n/2)之间指数级别的。
思考：如何把n个数的全排列找出来?
