算法三：二分查找

程序或算法的时间复杂度

我们为何要考虑二分查找呢，那是因为在面对很大的数据时它能有效的减少程序运行耗费的时间

1.1、标准二分法查找代码

二分查找的前提是给定目标数据应该是单调的，要么按从小到大顺序排，要么按从大到小排，也就是说给定的数组事先要排好序
函数BinarySearch用于查找某个设定的元素，前提是在从小到大排序的数组里查找，size表示数组的里元素的数目，找到则返回元素下标，否则返回0，复杂度为O(log(n))

#include<stdio.h>

int BinarySearch(int a[], int size, int p)
{
	int L = 0;
	int R = size - 1;
	while(L <= R)				//数组区间不为空
	{
		int mid = L + (R - L) / 2;	
		if(p == a[mid])
			return mid;
		else if(p < a[mid])
			R = mid - 1;
		else
			L = mid + 1;
	} 
	return 0;
}

int main()
{
	int a[10] = {1, 3, 6, 9, 12, 24, 33, 36, 52, 80};
	int n;
	scanf("%d", &n);
	if(BinarySearch(a,10,n) != 0)
		printf("Find it!%d is number : %d\n", n, BinarySearch(a,10,n) + 1);
	else
		printf("No such digit!\n");
	return 0;
}

注：为了防止（L + R）过大溢出，这里mid都设为L + (R - L) / 2.

这里还有一个蓝桥杯题目就是需要二分法，可以看此博文蓝桥杯2017第八届C语言B组省赛习题题解——习题I.分巧克力**加深印象

1.2、变式二分法查找代码

写一个函数LowerBound，在包含size个元素的、从小到大排序的int数组a里查找比给定整数p小，下标最大的元素。找到则返回其下标，否则返回-1

详细C代码如下：

#include<stdio.h>

int BinarySearch(int a[], int size, int p)
{
	int L = 0;
	int R = size - 1;
	while(L <= R)				//数组区间不为空
	{
		int mid = L + (R - L) / 2;
		if(p == a[mid])
			return mid;
		else if(p < a[mid])
			R = mid - 1;
		else
			L = mid + 1;
	} 
	return 0;
}

int LowerBound(int a[], int size, int p)
{
	int L = 0;
	int R = size - 1;
	int Pos = -1;
	while(L <= R)
	{
		int mid = L + (R - L) / 2;
		if(p < a[mid])
			R = mid - 1;
		else
		{
			Pos = mid;
			L = mid +  1; 
		}
	}
	return Pos;
}

int main()
{
	int a[10] = {1, 3, 6, 9, 12, 24, 33, 36, 52, 80};
	int n;
	scanf("%d", &n);
//	if(BinarySearch(a,10,n) != 0)
//		printf("Find it!%d is number : %d\n", n, BinarySearch(a,10,n) + 1);
//	else
//		printf("No such digit!\n");
	if(LowerBound(a, 10, n) != -1)
		printf("%d's position is %d\n", n, LowerBound(a, 10, n) + 1);
	else
		printf("%d's position is %d\n", n, LowerBound(a, 10, n));
	return 0;
}

2、二分法求方程的根

求下面方程的一个根 ： x³ - 5x² + 10x - 80 = 0
若求出的根是a，则要求|f(a)| <= 10^-6
由高数知识可知，函数的倒数大于0，所以函数是单调递增的，因此我们可以选择一个区域[x1, x2]，使得f(x1) < 0，f(x2) > 0，这里要注意的是循环终止条件不再是L > R了，而是f(root) < EPS

具体代码演示如下

#include<stdio.h>
#include<math.h> 

#define EPS 1e-6

double f(double n)
{
	return n * n * n - 5 * n * n + 10 * n - 80;
}

int main()
{
	int i;
	double L = 0;
	double R = 100;
	double root = L + (R - L) / 2;
	while(fabs(f(root)) > EPS)
	{
		if(f(root) > 0)
			R = root;
		else
			L = root;
		root = L + (R - L) / 2;
	}
	printf("%lf\n",root);
	return 0;
} 

后续我会根据题型的价值把更多典例添加到该算法栏目中。如果有什么好的题目也可以推荐我哦，评论区欢迎各位。

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