LeetCode 53. Maximum Subarray

以前做OJ的时候都想不通为什么是DP，现在终于搞明白了。

一开始想的时候，想着 dp[i] 为下标0~i元素最大的字串和。

dp[i] = max {  dp[i-1]　　　　　　a[i]不在subarry中

                      dp[i-1]+ a[i]      　　在subarray中　　承接之前的subarray     

                      a[i]  }                　　在subarray中　　新开一个subarray         

这个状态转移方程是有问题的，因为没法确定dp[i-1]是否在subarray中，所以dp[i-1]+ a[i]这里是不对的。

因此直接一步到位解这个问题是不行的。根据上述分析，可以把问题拆分成两部分：

dp[i] 表示以a[i]结尾的最大子串和，maxsum[i] 表示下标0~i元素所包括的最大子串和。

dp[0]=a[0], maxsum[0]=a[0];

dp[i] = max{ dp[i-1]+a[i]　　　承接之前的subarray

                    a[i] }　　　　   　新开一个subarray         　  

maxsum[i] = max{ maxsum[i-1]　　   subarray不包括a[i]

                              dp[i] }　　　　　   subarray包括a[i]

实际上就是把最开始的思路分成了两步。由于dp[i]和maxsum[i]求解的过程中都只依赖上一个状态的元素，因此空间复杂度可以从O(n)降到O(1)。