【Leetcode】53. Maximum Subarray 解题报告

方法1：直觉法

求连续子数组的最大和，就是相当于用一个框框起数组中的若干个数，使其和最大，这个框该怎么选？
我们用curr_sum表示当前框里框住的元素和。
首先固定框的左边，移动框的右边，如果curr_sum大于0，我们就右移右边界并求和,记录当前的最大值。如果curr_sum小于0，我们就将框的左边移动到当前位置（代码中的表现就是让curr_sum归零），然后再右移右边界并求curr_sum，记录当前的最大值

为什么要在curr_sum小于等于0的时候将框的左边界移动到当前位置？
因被框住的部分和小于等于0，他们对后面产生的和只会有减少左右不会有增加作用，所以要舍弃掉，当前的元素是一个leader,之前被框住的一坨是一个小团队A（假设不用按人头发工资），现在leader和A要组成更强的团队，如果整个A对外的输出都不是正的，那为啥还要跟你组队呢。只要A的输出为正的，那就留着。

class Solution:
    def maxSubArray(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        curr_sum = -float("inf")
        res = curr_sum
        for i in nums:
            if curr_sum < 0:
                curr_sum = i
            else:
                curr_sum += i
            res = max(res, curr_sum)
        return res

在这里插入图片描述

方法2：dp法

其实就是直觉法更形式化的方法，我们用dp[i]表示包含第index=i元素的最大连续子数组和，那么很容易写出递推方程

dp[i] = a[i] if dp[i-1] <=0 else dp[i-1] + a[i]
即
dp[i] = max(a[i] + dp[i-1],  a[i])

现实中的解释就是，如果dp[i-1]小于等于0，那你对我的增加一点用处都没有，那么就舍弃掉你。

class Solution:
    def maxSubArray(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        res =nums[0]
        dp = [nums[0]]*len(nums)
        for i in range(1,len(nums)):
            dp[i] = max(dp[i-1]+nums[i], nums[i])
            res = max(res, dp[i])
        return res

在这里插入图片描述

方法3：递增栈法

我们要找最大和子数组，也就是最大的 $sum_{i} - sum_{j}$ （i<j）,其中 $sum_{i}$ 表示array[0:i]的和，不考虑时间复杂度的话，两个for循环即可解决问题。我们通过维护一个递增栈，就能用O(n)的时间复杂度来求得最大差。
我们先求 $sum_{i}$

nums = [-2, 1, -3 ,4, -1, 2, 1, -5, 4]
sum =  [-2, -1, -4, 0, -1, 1, 2, -3, 1]

我们维护一个递增栈，创建一个stack,遍历sum中的元素并按照如下方法入栈

如果栈为空，将当前元素入栈
如果栈顶元素小于当前元素，将当前元素入栈
如果栈顶元素大于当前元素，popstack,直到栈顶元素小于当前元素
每次操作完毕后求栈顶减去栈底元素来更新res
因为是顺序入栈的，所以我们可以保证栈底元素的index总是小于栈顶元素的index,因为栈是递减的，所以在index=i的时候，栈底存储的一定是sum[0:i]中最小的元素，栈顶一定是sum[0:i]中最大的元素。
这里有个小trick，我们把res的初始值设为nums中的最大值，这样可以避免nums全为负导致的异常情况，把stack初始值设为0可以避免num全为正导致的异常情况。
stack的出栈入栈情况如下：

i	sum[i]	stack	res
-1		[0]	4
0	-2	[-2]	4
1	-1	[-2,-1]	4
3	-4	[-4]	4
4	0	[-4,0]	4
5	-1	[-4,-1]	4
6	1	[-4,-1,1]	5
7	2	[-4,-1,2]	6
8	-3	[-4,-3]	6
9	1	[-4,-3,1]	6

AC代码

class Solution:
    def maxSubArray(self,nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        res = nums[0]
        for i in range(len(nums)):
            res = max(res, nums[i])
            if i == 0:
                continue
            else:
                nums[i] += nums[i-1]
        stack = [0]
        for number in nums:
            if len(stack) == 0 or (len(stack)!=0 and stack[-1] < number):
                stack.append(number)
                res = max(res, stack[-1] - stack[0])
            else:
                while(len(stack) and stack[-1] >= number):
                    stack.pop()
                stack.append(number)
        return res