斜率优化dp+洛谷P3195玩具装箱

斜率优化dp是用来处理dp方程形如:

f[i]=min{f[j]}+a[i]的问题的算法

 将该形式的dp方程等价为形如y=kx+b的方程，然后可以表示出不同j时该方程的斜率，通过比较新加入j所对应的斜率和其他线段的斜率，利用单调队列或二分维护极值，最后dp出答案，该算法可以极大的优化运行时间。

 

洛谷P3195玩具装箱

很容易可以得到O（n²）暴力dp：dp[i]=0≤j<imin​{dp[j]+(sum[i]−sum[j]+i−j−1−L)2} ==> dp[i]=0≤j<imin​{dp[j]+(f[i]−f[j]−1−L)²}(sum为前缀和，f[i]为sum[i]+i)

这时设j₁，j₂且j₂优于j₁，于是有：

dp[j₁​]+(f[i]−f[j1₁]−1−L)²≥dp[j₂​]+(f[i]−f[j₂​]−1−L)²

拆开可得

dp[j₁​]+f[i]²−2f[i](f[j₁​]+1+L)+(f[j₁​]+L+1)²≥dp[j₂]+f[i]²−2f[i](f[j₂​]+1+L)+(f[j₂​]+L+1)²

移项

 

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n,L,a[500010],sum[500010],g[500010],f[500010],q[500010],head,tail;
int Read()
{
    int f=0;char ch;ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9')f=f*10+(ch-'0'),ch=getchar();
    return f;
}
double check(int x,int y)
{
    //return ((double)(f[x]+g[x]-f[y]-g[y]))/((double)(sum[x]-sum[y]));
    return (double)((f[x]+g[x]-f[y]-g[y])/(sum[x]-sum[y]));
}
signed main()
{
    n=Read(),L=Read();
    g[0]=(L+1)*(L+1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    sum[i]=Read(),sum[i]+=sum[i-1];
    for(int i=1;i<=n;i++)sum[i]+=i,g[i]=(sum[i]+L+1)*(sum[i]+L+1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(head<tail&&check(q[head],q[head+1])<=2*sum[i])head++;
        f[i]=f[q[head]]+(sum[i]-sum[q[head]]-L-1)*(sum[i]-sum[q[head]]-L-1);
        while(head<tail&&check(q[tail],i)<check(q[tail-1],q[tail]))tail--;
        q[++tail]=i;
    }
    cout<<f[n];
    return 0;
}