http://www.doc88.com/p-536463154451.html
摘要：本文主要讨论了通过群的同构分类的观点系统给出了低阶（31阶以下）群的特征标表。为了解决这一问题，本文引用一个主要定理（文献1），通过这个定理解决了24阶群的所有同构分类情况。
本文具体分析了群的结构。第二章，我们证明一些有关群同构理论和特征标的理论。第三章，我们主要探讨低阶群的同构关系。第四章，我们利用低阶群的同构关系构造其相应的特征标表。
关键词：生成关系；同构；特征标。
引言
本文主要的目的是通过群作用的观点系统的给出了低阶群（30阶群以下）的各种分类情况以及生成关系。为了解决这一问题，主要是16阶群和24阶群的所有同构分类情况。16阶群在文献[3]中和文献[11]已经具体给出各种生成关系和特征标表。为了解决24阶群的所有同构分类情况，本文引进了一个主要的定理。
定理1给出了半直积同构的一个充分必要条件。这样，我们就可以一一讨论24阶群的所有生成关系。
这样，我们可以分为三种情况来一一构造群的特征标表，第一种为循环群，第二种为交换群，第三种为非交换群。其中构造非交换群的特征标表比较复杂，我们利用同构关系逐一构造出来。
表1：低阶群的阶数与群数对应表
gap> for i in [1..30] do Print(NumberSmallGroups(i),"种",i,"阶群,"); od;
1种1阶群,1种2阶群,1种3阶群,2种4阶群,1种5阶群,2种6阶群,1种7阶群,5种8阶群,2种9阶群,2种
10阶群,1种11阶群,5种12阶群,1种13阶群,2种14阶群,1种15阶群,14种16阶群,1种17阶群,5种18阶群,1种
19阶群,5种20阶群,2种21阶群,2种22阶群,1种23阶群,15种24阶群,2种25阶群,2种26阶群,5种27阶群,4种
28阶群,1种29阶群,4种30阶群,
本文将上面阶数所对应的群的生成关系一一讨论，对应其特征表构造出来。
第一章 预备知识
从群G的特征标表可得到关于G的大量群论方面的信息，我们可以找到其中心化子与共轭类的基数，正规子群，与其导群之间的关系。
第二章 群的同构和特征标
引理2.5：循环群的自同构群是交换群。有限循环群C_n有φ(n)个自同构，Aut(C_n)=(Z/nZ)^*。
引理2.6：（N/C定理）设H{<=}G，则N_G(H)/C_G(H)同构于Aut(H)的一个子群。
第三章 低阶群的同构分类
结论3.11.2设G是16阶有限非交换群，分为三种情况讨论：（假设K=G'∩Z(G)）
第一种：G若有8阶循环子群（G/K=D_8）,则
二面体群SmallGroup(16,7)
gap> F:=FreeGroup(2);;G:=F/[F.1^8, F.2^2, F.1 * F.2 * (F.2*(F.1)^(-1))^(-1)];;IdGroup(G);
[ 16, 7 ]
gap> F:=FreeGroup(2);;G:=F/[F.1^8, F.2^2, F.1 * F.2 * (F.2*(F.1)^(3))^(-1)];;IdGroup(G);
[ 16, 8 ]
gap> F:=FreeGroup(2);;G:=F/[F.1^8, F.2^2, F.1 * F.2 * (F.2*(F.1)^(-3))^(-1)];;IdGroup(G);
[ 16, 6 ]
或广义四元数群SmallGroup(16,9)
gap> F:=FreeGroup(2);;G:=F/[F.1^8, F.2^2*(F.1^4)^(-1), F.1 * F.2 * (F.2*(F.1)^(-1))^(-1)];;IdGroup(G);
[ 16, 9 ]
以下说明上述4种群彼此互不同构。
第二种 设G是16阶有限交换群，且没有8阶循环子群，但4阶循环子群正规，（G/K=C_2×C_2×C_2）则
gap> F:=FreeGroup(2);;G:=F/[F.1^4, F.2^4, F.1 * F.2 * (F.2*(F.1)^(-1))^(-1)];;IdGroup(G);
[ 16, 4 ]
SmallGroup(16,11)=D_8×C_2【注：原文中抄错了？】
gap> F:=FreeGroup(3);;G:=F/[F.1^4,F.2^2,F.3^2,F.2 * F.3 * (F.3*F.2)^(-1),F.1*F.3*(F.3*F.1)^(-1),(F.2*F.1*F.2^(-
1))*F.1];;IdGroup(G);
[ 16, 11 ]
或
SmallGroup(16,12)=Q_8×C_2【注：原文中抄错了？】
gap> F:=FreeGroup(3);;G:=F/[F.1^2*(F.2^2)^(-1),F.1^2*((F.1*F.2)^2)^(-1),F.3^2,F.2 * F.3 * (F.3*F.2)^(-1),F.1*F.3*
(F.3*F.1)^(-1)];;IdGroup(G);
[ 16, 12 ]
因而，上述三群彼此互不同构。
第三种 设G是16阶有限交换群，没有8阶循环子群，且4阶循环子群部正规，（G/K=C_4×C_2）则
gap> F:=FreeGroup(3);;G:=F/[F.1^4,F.2^2,F.3^2,F.2^(-1) * F.1*F.2 * F.1^(-1),F.3^(-1)*F.1*F.3*(F.1*F.2)^(-1),F.3^
(-1)*F.2*F.3*F.2^(-1)];;IdGroup(G);
[ 16, 3 ]
第四章 低阶群的特征标表
本章分为三种情况来构造低阶群的特征标表。
第一种：循环群C_n的特征标表
第二种：Abel群（也包括初等交换群）的特征标表：
第三种：非交换群的特征标表：本节利用第一章的定义分别讨论。
（Ⅰ）二面体群D_2n的特征标表
（Ⅱ）置换群S_n和交代群A_n的特征标表
考虑到A_4，其共轭类为{(1)},{(12)(34),(13)(24),(14)(23)},{(123),(142),(134),(243)},{(132),(124),(143),(234)},又因为A_4/K_4=A_3，将A_3的特征标表提升为A_4的部分特征标表，利用特征标表的性质，我们可以得到A_4的特征标表。
表7：SmallGroup(12,3)=A_4的特征标表
gap> g:=SmallGroup(12,3);;cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List
(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:= CharacterTable( g );;Display( tbl );
CT6
2 2 . 2 .
3 1 1 . 1
1a 3a 2a 3b
2P 1a 3b 1a 3a
3P 1a 1a 2a 1a
X.1 1 1 1 1
X.2 1 A 1 /A
X.3 1 /A 1 A
X.4 3 . -1 .
A = E(3)^2
= (-1-Sqrt(-3))/2 = -1-b3
gap> IdGroup(AlternatingGroup(4));
[ 12, 3 ]
（Ⅲ）四元数群Q_4n的特征标表：利用定义关系，Q_4n总共有n+3个共轭类分别为：{1},{a^n},{a^r,a^-r}(1<=r<=n-1),{a^2jb:0<=j<=n-1},{a^2j+1b,0<=j<=n-1}，
若n为奇数时，则Q_4n/Q'_4n=(Q'_4nb)=C_4。
表8：Q_4n的特征标表
若n为偶数时，则Q_4n/Q'_4n={(a_2),(a_2)a,(a_2)b,(a_2)ab}=C_2×C_2。
表9：Q_4n的特征标表
SmallGroup(24,4)=Q_24的特征标表
gap> g:=SmallGroup(24,4);;cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List
(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:= CharacterTable( g );;Display( tbl );
CT5
2 3 2 2 3 2 2 2 2 2
3 1 . 1 1 1 . 1 1 1
1a 4a 4b 2a 3a 4c 12a 6a 12b
2P 1a 2a 2a 1a 3a 2a 6a 3a 6a
3P 1a 4a 4b 2a 1a 4c 4b 2a 4b
5P 1a 4a 4b 2a 3a 4c 12b 6a 12a
7P 1a 4a 4b 2a 3a 4c 12b 6a 12a
11P 1a 4a 4b 2a 3a 4c 12a 6a 12b
X.1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
X.2 1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1
X.3 1 -1 1 1 1 -1 1 1 1
X.4 1 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1
X.5 2 . . -2 2 . . -2 .
X.6 2 . -2 2 -1 . 1 -1 1
X.7 2 . 2 2 -1 . -1 -1 -1
X.8 2 . . -2 -1 . A 1 -A
X.9 2 . . -2 -1 . -A 1 A
A = -E(12)^7+E(12)^11
= Sqrt(3) = r3
gap> IdGroup(QuaternionGroup(24));
[ 24, 4 ]
（Ⅳ）U_6n的特征标表：设G=U_6n，利用定义关系，G有3n个共轭类分别为
{a^2r},{a^2rb,a^2rb^2},{a^2r+1,a^2r+1b,a^2r+1b^2},(0<=r<=n-1)
表10：SmallGroup(24,1)=U_6*4的特征标表
gap> g:=SmallGroup(24,1);;cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List
(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:= CharacterTable( g );;Display( tbl );
CT4
2 3 3 3 3 2 3 3 3 2 2 3 2
3 1 . 1 1 1 . . 1 1 1 . 1
1a 8a 4a 2a 3a 8b 8c 4b 12a 6a 8d 12b
2P 1a 4a 2a 1a 3a 4b 4a 2a 6a 3a 4b 6a
3P 1a 8b 4b 2a 1a 8a 8d 4a 4b 2a 8c 4a
5P 1a 8c 4a 2a 3a 8d 8a 4b 12a 6a 8b 12b
7P 1a 8d 4b 2a 3a 8c 8b 4a 12b 6a 8a 12a
11P 1a 8b 4b 2a 3a 8a 8d 4a 12b 6a 8c 12a
X.1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
X.2 1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 1
X.3 1 A -1 1 1 -A A -1 -1 1 -A -1
X.4 1 -A -1 1 1 A -A -1 -1 1 A -1
X.5 1 B -A -1 1 -/B -B A -A -1 /B A
X.6 1 -/B A -1 1 B /B -A A -1 -B -A
X.7 1 /B A -1 1 -B -/B -A A -1 B -A
X.8 1 -B -A -1 1 /B B A -A -1 -/B A
X.9 2 . -2 2 -1 . . -2 1 -1 . 1
X.10 2 . 2 2 -1 . . 2 -1 -1 . -1
X.11 2 . C -2 -1 . . -C -A 1 . A
X.12 2 . -C -2 -1 . . C A 1 . -A
A = -E(4)
= -Sqrt(-1) = -i
B = -E(8)
C = -2*E(4)
= -2*Sqrt(-1) = -2i
我们可以看出：U_6=D_6，U_12=Q_12，U_18=D_6×C_3。
（Ⅴ）V_8n的特征标表（具体参考文献[3]）我们只研究n=3的情形，即24阶群。设G=V_24，利用其定义关系可知：G有9个共轭类，分别为{1},{b^2},{a},{a^3},{a^5},{a^2},{a^2b^2},{b},{ab}。
不难求出有4个线性特征标，3个2次不可约特征标，2个2次不可约特征标。
表11：SmallGroup(24,8)=V_24的特征标表
gap> g:=SmallGroup(24,8);;cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List
(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:= CharacterTable( g );;Display( tbl );
CT3
2 3 2 2 3 2 2 2 2 2
3 1 . 1 1 1 . 1 1 1
1a 2a 2b 2c 3a 4a 6a 6b 6c
2P 1a 1a 1a 1a 3a 2c 3a 3a 3a
3P 1a 2a 2b 2c 1a 4a 2b 2c 2b
5P 1a 2a 2b 2c 3a 4a 6c 6b 6a
X.1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
X.2 1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1
X.3 1 -1 1 1 1 -1 1 1 1
X.4 1 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1
X.5 2 . -2 2 -1 . 1 -1 1
X.6 2 . 2 2 -1 . -1 -1 -1
X.7 2 . . -2 2 . . -2 .
X.8 2 . . -2 -1 . A 1 -A
X.9 2 . . -2 -1 . -A 1 A
A = -E(3)+E(3)^2
= -Sqrt(-3) = -i3
（Ⅵ）F_p,q的特征标表
我们只讨论两种情况：第一种：F_5,4的特征标表：
利用其定义关系，设G=F_5,4有5个共轭类，分别为{1},{a},{b},{b^2},{b^3}。不难求出有4个线性特征标和1个4次不可约特征标。
表12：SmallGroup(20,3)=F_5,4的特征标表
gap> g:=SmallGroup(20,3);;cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:= CharacterTable( g );;Display( tbl );
CT7
2 2 2 2 . 2
5 1 . . 1 .
1a 4a 2a 5a 4b
2P 1a 2a 1a 5a 2a
3P 1a 4b 2a 5a 4a
5P 1a 4a 2a 1a 4b
X.1 1 1 1 1 1
X.2 1 -1 1 1 -1
X.3 1 A -1 1 -A
X.4 1 -A -1 1 A
X.5 4 . . -1 .
A = -E(4)
= -Sqrt(-1) = -i
（Ⅶ）E的特征标表
表14：SmallGroup(18,4)=E的特征标表
gap> g:=SmallGroup(18,4);;cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List
(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:= CharacterTable( g );;Display( tbl );
CT8
2 1 1 . . . .
3 2 . 2 2 2 2
1a 2a 3a 3b 3c 3d
2P 1a 1a 3a 3b 3c 3d
3P 1a 2a 1a 1a 1a 1a
X.1 1 1 1 1 1 1
X.2 1 -1 1 1 1 1
X.3 2 . 2 -1 -1 -1
X.4 2 . -1 2 -1 -1
X.5 2 . -1 -1 -1 2
X.6 2 . -1 -1 2 -1
（Ⅷ）H_1,H_2的特征标表
（Ⅸ）SL(2,3)的特征标表
表16：SmallGroup(24,3)=SL(2,3)的元素共轭类表
表17：SmallGroup(24,3)=SL(2,3)的特征标表
gap> g:=SmallGroup(24,3);;cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List
(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:= CharacterTable( g );;Display( tbl );
CT2
2 3 1 2 3 1 1 1
3 1 1 . 1 1 1 1
1a 3a 4a 2a 3b 6a 6b
2P 1a 3b 2a 1a 3a 3b 3a
3P 1a 1a 4a 2a 1a 2a 2a
5P 1a 3b 4a 2a 3a 6b 6a
X.1 1 1 1 1 1 1 1
X.2 1 A 1 1 /A A /A
X.3 1 /A 1 1 A /A A
X.4 2 -1 . -2 -1 1 1
X.5 2 -/A . -2 -A /A A
X.6 2 -A . -2 -/A A /A
X.7 3 . -1 3 . . .
A = E(3)^2
= (-1-Sqrt(-3))/2 = -1-b3
gap> IdGroup(SL(2,3));
[ 24, 3 ]
（Ⅹ）16阶非交换群的特征标表
我们分为三个部分来构造16阶的特征标表。
我们可以假设K=G'∩Z(G)，进一步得到G/K=D_8,C_4×C_2,C_2×C_2×C_2,
（A）：G/K=D_8
表19：SmallGroup(16,7)=G_1=D_16,SmallGroup(16,9)=G_2,SmallGroup(16,8)=G_3的特征标表
gap> g:=SmallGroup(16,7);;cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List
(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:= CharacterTable( g );;Display( tbl );
CT9
2 4 2 2 3 4 3 3
1a 2a 2b 4a 2c 8a 8b
X.1 1 1 1 1 1 1 1
X.2 1 -1 1 1 1 -1 -1
X.3 1 1 -1 1 1 -1 -1
X.4 1 -1 -1 1 1 1 1
X.5 2 . . -2 2 . .
X.6 2 . . . -2 A -A
X.7 2 . . . -2 -A A
A = -E(8)+E(8)^3
= -Sqrt(2) = -r2
gap> IdGroup(DihedralGroup(16));
[ 16, 7 ]
gap> F:=FreeGroup(2);;G2:=F/[F.1^8,F.2^2*(F.1^4)^(-1),F.2^(-1)*F.1*F.2*F.1];;IdGroup(G2);
[ 16, 9 ]
gap> F:=FreeGroup(2);;G3:=F/[F.1^8,F.2^2,F.2^(-1)*F.1*F.2*(F.1^3)^(-1)];;IdGroup(G3);
[ 16, 8 ]
这里G_1,G_2的特征标表为α=Sqrt(2)=-β，G_3的特征标表为α=Sqrt(2)i=-β
于是我们可以类推：
（B）：G/K=C_4×C_2
（C）：G/K=C_2×C_2×C_2
表20：G_4,G_5,G_6的特征标表
gap> F:=FreeGroup(3);;G4:=F/[F.1^4*(F.3)^(-1),F.2^2,F.3^2,F.2^(-1)*F.1*F.2*(F.1*F.3)^(-1)];;IdGroup(G4);
[ 16, 6 ]
gap> F:=FreeGroup(3);;G5:=F/[F.1^4,F.3^2,F.2^2*F.3^(-1),F.2^(-1)*F.1*F.2*(F.1*F.3)^(-1)];;IdGroup(G5);
[ 16, 4 ]
gap> F:=FreeGroup(3);;G6:=F/[F.1^4,F.2^2,F.3^2,F.1*F.3*(F.3*F.1)^(-1),F.2*F.3*(F.3*F.2)^(-1),F.2^(-1)*F.1*F.2*(F.1*F.3)^(-1)];;IdGroup(G6);
[ 16, 3 ]
gap> F:=FreeGroup(3);;G:=F/[F.1^4,F.2^2,F.3^2,F.2^(-1) * F.1*F.2 * F.1^(-1),F.3^(-1)*F.1*F.3*(F.1*F.2)^(-1),F.3^(-1)*F.2*F.3*F.2^(-1)];;IdGroup(G);
[ 16, 3 ]
这里G_4的特征标表为α=2i=-β，G_5，G_6的特征标表为α=i=-β。
表21：SmallGroup(16,11)=G_7=D_8×C_2,SmallGroup(16,12)=G_8=Q_8×C_2,SmallGroup(16,13)=G_9的特征标表
gap> g:=SmallGroup(16,11);;cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:= CharacterTable( g );;Display( tbl );
CT10
2 4 3 3 4 4 3 3 3 4 3
1a 2a 2b 2c 2d 4a 2e 2f 2g 4b
X.1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
X.2 1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1 -1
X.3 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 -1
X.4 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1
X.5 1 1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1
X.6 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1
X.7 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 1
X.8 1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1
X.9 2 . . 2 -2 . . . -2 .
X.10 2 . . -2 -2 . . . 2 .
gap> IdGroup(DirectProduct(DihedralGroup(8),CyclicGroup(2)));
[ 16, 11 ]
gap> g:=SmallGroup(16,12);;cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:= CharacterTable( g );;Display( tbl );
CT11
2 4 3 3 4 4 3 3 3 4 3
1a 4a 4b 2a 2b 4c 4d 4e 2c 4f
X.1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
X.2 1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1 -1
X.3 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 -1
X.4 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1
X.5 1 1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1
X.6 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1
X.7 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 1
X.8 1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1
X.9 2 . . 2 -2 . . . -2 .
X.10 2 . . -2 -2 . . . 2 .
gap> IdGroup(DirectProduct(QuaternionGroup(8),CyclicGroup(2)));
[ 16, 12 ]
gap> F:=FreeGroup(3);;G9:=F/[F.1^2,F.2^2,F.3^4,F.1*F.3*(F.3*F.1)^(-1),F.2*F.3*(F.3*F.2)^(-1),F.2^(-1)*F.1*F.2*(F.1*F.3^2)^(-1)];;IdGroup(G9);
[ 16, 13 ]
这里G_7，G_8的特征标表为α=2=-β，G_9的特征标表为α=2i=-β。
（Ⅺ）低阶非交换群的特征标表
