《线性代数》 李炯生\查建国\王新茂 中国科学技术大学 第2版 部分习题答案

百度了一圈没有靠谱点的答案，于是便有了这篇博客。
只写了一些自己觉得有价值的习题。

第一章 多项式

1.3 整除性与最大公因式

习题3

证明: 当 $n=6m+5$时,多项式 $x^2+xy+y^2$整除多项式 $(x+y)^n-x^n-y^n$; 当 $n=6m+1$时,多项式 $(x^2+xy+y^2)^2$整除多项式 $(x+y)^n-x^n-y^n$.这里 $m$是使 $n>0$的整数,而 $x,y$是实数.

注意到 $x^2+x+1$的根 $w$为三次单位根,且 $w+1$为6次单位根.

用归纳法,对于 $6m+5$的情况,只需计算 $f(w)$是否为0,对于 $6m+1$的情况还需计算 $f'(w)$.

习题10

设 $f(x)$是 $2n+1$次多项式, $n$为正整数, $f(x)+1$被 $(x-1)^n$整除, $f(x)-1$被 $(x+1)^n$整除.求 $f(x)$.

First we have:
$u(x)(x-1)^n - 1 = v(x)(x+1)^n + 1$

Because of $((x-1)^n,(x+1)^n)=1$,there exists $u(x),v(x)$, such that:

$u(x)(x-1)^n - v(x)(x+1)^n = 2$

if we find such $u(x),v(x)$,then $(u(x)+t(x)*(x+1)^n)(x-1)^n - 1$ could be a valid $f(x)$.

Notice that there exists a $u(x)$, $deg(u(x)) < n$,then because:
$u(x) = (1-v(x)(x+1)^n)(x-1)^{-n}$
So:
$u^{(i)}(-1) = (\prod_{j=0}^{i-1}(-n-j)) (-2)^{-n-i}$

Use Taylor’s expansion:
$u(x) = \sum_{i=0}^{n-1}\frac{u^{(i)}(-1)}{i!}(x+1)^i$

1.5 实系数与复系数多项式

习题1

尝试构造 $n$次单位根.

习题2.(4)

一个小Trick: $x^4-ax^2+1=(x^2+1)^2-(2+a)x^2 = (x^2+\sqrt{2+a}x+1)(x^2-\sqrt{2+a}x + 1)$

习题10

证明：实系数多项式 $f(x)$对所有实数 $x$恒取非负实数值的充分必要条件是,存在实系数多项式 $\varphi(x),\psi(x)$,使得 $f(x) = [\varphi(x)]^2 + [\psi(x)]^2$.

$\begin{aligned}f(x)&=g(x)[(x-z_1)...(x-z_t)][(x-\bar{z_1})...(x-\bar{z_t})]\\&=g(x)(p(x)+iq(x))(p(x)-iq(x)) \\&= (\sqrt{g(x)}p(x))^2 + (\sqrt{g(x)}q(x))^2\end{aligned}$

1.6 整系数与有理系数多项式

例1

证明分圆多项式在 $\Z$上不可约

$f(x) = \frac{x^p-1}{x-1}$,根为 $w^1,...,w^{p-1}$, $p$为奇数,又 $(x-w^i)(x-w^{p-1})$不是有理系数,故不可约.

例2

设 $a_1,...,a_n$是 $n$个不同的整数, $n \ge 2$,证明：多项式 $\prod_i (x-a_i) -1$在 $\mathbb{Q}$上不可约.

反证.设 $f(x)=g(x)h(x)$,则 $g(x),h(x)$在 $n$个点上取相反数,故 $g(x)+h(x)=0 \Rightarrow g(x)=-h(x) \Rightarrow f(x)=-g^2(x)$与 $f(x)$首项为1矛盾.

习题2

设 $f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i$是整系数多项式,且素数 $p$满足: $p\not |a_0, p \not | a_1, ..., p \not | a_k, p|a_{k+1},...,p|a_n, p^2 \not| a_n$.证明 $f(x)$具有次数 $\ge n-k$的整系数不可约因式.

反证.设$f(x)=g(x)h(x)$,$g(x)=\sum_{i=0}^sb_ix^i$,$h(x)=\sum_{i=0}^tc_ix^i$,$p|b_s,p\not|c_t,p\not|b_0,p\not |c_1$,则$\exist m, p \not | b_{s-m}, p|b_{s-m+1},p|_{s-m+2}... \Rightarrow p \not|a_{n-m} \Rightarrow n-m \le k \Rightarrow m \ge n-k$,对$g$进行归纳.

习题6

设整系数多项式 $f(x)$在 $x$的 $4$个不同整数值上取值为 $1$,则 $f(x)$在 $x$的其他整数值上的值不能是 $-1$.

证明是显然的.

习题7

证明：设正整数 $n \ge 12$,并且 $n$次整系数多项式 $f(x)$在 $x$的 $\lfloor\frac{n}{2}\rfloor + 1$个以上的整数值上取值为 $\pm 1$,则 $f(x)$在 $\mathbb{Q}$上不可约.

根据习题6,取值必然全为 $1$或全为 $-1$,然后反证, $f=gh$,则 $g=-h$或 $g=h$, $f=-g^2$或 $f=g^2$,分别与取值为正和取值为负矛盾.

习题8

设整系数多项式 $ax^2+bx+1$在有理数域 $\mathbb{Q}$上不可约,并且 $\varphi(x)=\prod_{i}(x-a_i)$,其中 $a_1,a_2,...,a_n$是 $n$个不同的整数, $n \ge 7$,证明：多项式 $f(x) = a[\varphi(x)]^2+b\varphi(x)+1$在 $\mathbb{Q}$上不可约.

反证. $f(x)=g(x)h(x)$在 $n$个点上取1,则 $g=h \Rightarrow f=g^2 \Rightarrow g$在 $n$个点取1 $\Rightarrow g = c\varphi(x)+1 \Rightarrow f(x)=(c\varphi(x)+1)^2$与 $ax^2+bx+1$不可约矛盾.

1.8 对称多项式

习题3

设三次方程 $x^3+ax^2+bx+c$的三个根是某个三角形的内角的正弦.证明： $a(4ab-a^3-8c)=4c^2$

证明：利用海伦公式化简即可.

习题6

设对称多项式 $f(x_1,x_2,...,x_n)$满足： $f(x_1+a,x_2+a,...,x_n+a) = f(x_1,x_2,...,x_n)$, $a$ 为任意常数.设 $f(x_1,x_2,...,x_n) = g(\sigma_1,\sigma_2,...,\sigma_n)$.证明： $\sum_{i=1}^{n}(n-i+1)\sigma_{i-1}\frac{\partial g}{\partial \sigma_{i}} = 0$

证：首先 $\sum_i\frac{\partial \sigma_k}{x_i} = (n-k+1)\sigma_{k-1}$,由题 $\sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} = 0$

$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} &= \sum_{i=1}^n \frac{\partial g}{\partial \sigma_i}\sum_{j}\frac{\partial \sigma_i}{x_j} \\&= \sum_{i=1}^n(n-i+1)\sigma_{i-1} \frac{\partial g}{\partial \sigma_i} = 0\end{aligned}$

习题8,10

由牛顿多项式确定方程组后套用Cramer法则.

对10可利用归纳：

习题11

若多项式 $f(x_1,x_2,x_3,...,x_n) = f(x_2,x_3,...,x_n,x_1) = f(x_3,...,x_n,x_1,x_2)=...$则称 $f(x_1,...,x_n)$在未定元 $f(x_1,...,x_n)$的循环变换下不变, 证明： $f$在这种条件下可由 $g_0,...,g_1$表示,其中 $g_j(x_1,...,x_n) = \sum_{i=1}^{n}x_i w^{ij}$, $w$为 $n$次单位根,进一步的, $f$可表示为:

$\sum_{m_0,m_1,...,m_{n-1}}a_{m_0,m_1,...,m_{n-1}}g_0^{m_0}...g_{n-1}^{m_{n-1}}$

其中 $m_1+2m_2+...+(n-1)m_{n-1}$能被 $n$整除,且 $\sum_im_i \le \deg(f)$.

证明：

首先：

$\begin{cases}g_0 &=& x_0 &+& x_1 &+& x_2&+& ... &+& x_n\\g_1 &=& x_0 &+& x_1w&+&x_2w^2 &+& ... &+& x_nw^n \\ \cdots \\ g_{n-1} &=& x_0 &+& x_1w^{n-1} &+&x_2w^{2(n-1)}&+&...&+&x_nw^{n(n-1)} \end{cases}$

列出其增广矩阵：

$\det(\begin{pmatrix} 1 & 1 & ... & 1\\w & w^2 & ... & w^n \\ \vdots & \vdots &\ddots &\vdots \\ w^{n-1} & w^{2(n-1)} & \cdots & w^{n(n-1)} \end{pmatrix}) = \prod_{i<j}(w^i-w^j)$

Vandermonde矩阵行列式不为0,则存在唯一解 $x_i = \sum a_{x_i}g_j$,即存在唯一表示 $f=\sum_{m_0,m_1,...,m_{n-1}}a_{m_0,m_1,...,m_{n-1}}g_0^{m_0}...g_{n-1}^{m_{n-1}}$

又：

$f(x_1,x_2,...,x_n) = h(g_0,g_1,...,g_{n-1}) = h(\sum_{i}x_i,\sum_{i}x_iw^i,...,\sum_{i}x_iw^{i(n-1)})$

$f(x_n,x_1,...,x_{n-1}) = h(g_0,wg_1,...,w^{n-1}g_{n-1})$

$\begin{aligned}f&=\sum_{m_0,m_1,...,m_{n-1}}a_{m_0,m_1,...,m_{n-1}}g_0^{m_0}...g_{n-1}^{m_{n-1}} \\&= \sum_{m_0,m_1,...,m_{n-1}}a_{m_0,m_1,...,m_{n-1}}(wg_0)^{m_0}...(wg_{n-1})^{m_{n-1}}\\&=\sum_{m_0,m_1,...,m_{n-1}}w^{m_1+2m_2+...+(n-1)m_{n-1}}a_{m_0,m_1,...,m_{n-1}}(wg_0)^{m_0}...(wg_{n-1})^{m_{n-1}}\end{aligned}$

对比系数可知 $n|m_1+2m_2+...+(n-1)m_{n-1}$

第二章 行列式

2.2 $n$阶行列式的定义与性质

习题9

求下列行列式：

(1)

$\left |\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\ 3 &4 & 1 & 2 \\4 & 1 & 2 & 3\end{matrix}\right |$

可直接进行行列变换。 也有循环矩阵的一般求解形式：https://wenku.baidu.com/view/bf28cb59f01dc281e53af0ff.html

(4)

$\left |\begin{matrix}a & b & c & d \\ -b & a & d & -c \\ -c & -d & a & b \\-d & c & -b & a\end{matrix}\right |$

注意两行点乘值为0，然后用 $|AA^T| = |A|^2$计算。

2.3 Laplace展开定理

习题3

记：

$D = \left |\begin{matrix}a_1x_1 & b_1x_1 & a_1x_2 & b_1x_2 & a_1x_3 & b_1x_3 \\ a_2x_1 & b_2x_1 & a_2x_2 & b_2x_2 & a_3x_3 & b_3x_3 \\ a_1y_1 & b_1y_1 & a_1y_2 & b_1y_2 & a_1y_3 & b_1y_3 \\ a_2y_1 & b_2y_1 & a_2y_2 & b_2y_2 & a_2y_3 & b_2y_3\\ a_1z_1 & b_1z_1 & a_1z_2 & b_1z_2 & a_1z_3 & b_1z_3 \\ a_2z_1 & b_2z_1 & a_2z_2 & b_2z_2 & a_2z_3 & b_2z_3\\ \end{matrix}\right |$

$\delta = \left| \begin{matrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{matrix}\right|$

$\Delta = \left| \begin{matrix}x_1 & x_2 & x_3\\ y_1 & y_2 & y_3 \\ z_1 & z_2 & z_3\end{matrix}\right|$

证明: $D= \delta^3\Delta^2$

构造两个矩阵，乘积为所求矩阵。 且行列式分别为 $\delta^3$, $\Delta^2$。

习题9

设 $b_{i,j} = (a_{i,1}+a_{i,2}+\cdots+a_{i,n}) - a_{i,j}, 1\le i,j \le n$。证明： $|b_{i,j}|_{n} = (-1)^{n-1}(n-1)|a_{i,j}|_n$

这种每行有相同的元素的题可以考虑加边。

2.5 行列式的计算

例9

求 $n$阶行列式：

$\Delta_n = \left| \begin{matrix}1 & 1 & \cdots & 1\\ x_1 & x_2 & \cdots& x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots&x_n^2 \\ &... \\ x_1^{k-1} & x_2^{k-1} & \cdots&x_n^{k-1}\\x_1^{k+1} & x_2^{k+1} & \cdots&x_n^{k+1} \\ & ... \\\end{matrix}\right|$

补齐 $x_i^k$行，最后一列新增未定元 $x$，然后答案为Vandermonde行列式中 $x^k$的系数。

习题1

(5)

求：

$\Delta = \left| \begin{matrix}x & a & a & \cdots & a & a\\ -a & x & a & \cdots & a & a \\ &&\cdots\cdots\cdots\cdots \\-a & -a &-a & \cdots & x & a \\ -a & -a &-a & \cdots & -a & x\end{matrix}\right|$

类似反对称行列式，把最后一列全提个 $a$出来得到一个递推式，第一列全提个 $-a$出来得到一个递推式，然后解方程即可。

(10)

求 $|I_m + A_{m,2} * B_{2,m}|$，其中 $A_{m,2} = \left|\begin{matrix}a_1 & 1 \\a_2 & 1 \\ &\cdots \\a_m &1\end{matrix}\right|, B_{2,m} =\left| \begin{matrix}b_1 & b_2 & \cdots & b_m \\ 1 & 1 & \cdots & 1\end{matrix}\right|$。

用打洞原理， $|I_m + A_{m,n}*B_{n,m}| = |I_n + A_{m,n}^T B_{n,m}^T|$，然后就只有四个数了。

(12)

$\left| \begin{matrix} \binom{m}{k} & \binom{m}{k+1} & \cdots & \binom{m}{k+n-1} \\ \binom{m+1}{k} & \binom{m+1}{k+1} & \cdots & \binom{m+1}{k+n-1} \\ &&\cdots\cdots\cdots\cdots \\\binom{m+n-1}{k} & \binom{m+n-1}{k+1} & \cdots & \binom{m+n-1}{k+n-1}\end{matrix}\right|$

每行提一个 $\frac1{k!}$，每列提一个 $m$，然后变成一个子问题，最后要求这个矩阵( $m_i$ = $m_1 + i - 1$)：

$\left| \begin{matrix} 1 & \binom{m_1}{1} & \binom{m_1}{2} & \cdots & \binom{m_1}{n-1} \\ 1 & \binom{m_2}{1} & \binom{m_2}{2} & \cdots & \binom{m_2}{n-1} \\ &&\cdots\cdots\cdots\cdots \\1 & \binom{m_n}{1} & \binom{m_n}{2} & \cdots & \binom{m_n}{n-1}\end{matrix}\right|$

上面这个矩阵每列提一个 $\frac1{k!}$变成下降幂，然后下降幂通过列变换变成Vandermonde矩阵。

(14)

$\left| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 1 & \binom{1}{1} & 0 & \cdots & 0 & x \\ 1 & \binom{2}{1} & \binom{2}{2} & \cdots & 0 & x^2 \\ &&\cdots\cdots\cdots\cdots \\ 1 & \binom{n-2}{1} & \binom{n-2}{2} & \cdots & \binom{n-2}{n-2} & x^{n-2} \\ 1 & \binom{n-1}{1} & \binom{n-1}{2} & \cdots & \binom{n-1}{n-2} & x^{n-1} \\\end{matrix}\right|$

$f(x+1) = x^{n-1} \Rightarrow f(x)=(x-1)^{n-1}$

(16)

$\left| \begin{matrix} 1 & \cos \theta_1 & \cos2\theta_1 & \cdots & \cos(n-1)\theta_1 \\ 1 & \cos \theta_2 & \cos2\theta_2 & \cdots & \cos(n-1)\theta_2 \\ &&\cdots\cdots\cdots\cdots \\1 & \cos \theta_n & \cos2\theta_n & \cdots & \cos(n-1)\theta_n \end{matrix}\right|$

方法1： $\cos n\theta$是个关于 $\cos\theta$的多项式，然后用上题方法。

方法2：用复数表示 $\cos \theta$，然后随便搞搞。。

方法3：和差化积。

(17)

$\left| \begin{matrix} x & 1 & & & \\ -n & x-2 & 2 & & \\ &-(n-1) & x-4 & \ddots\\ &&\ddots&\ddots \\ & & & &-1 & x-2n\end{matrix}\right|$

注意到每列和一样，且很稀疏，对每列求个前缀和然后对行差分，按最后一行展开归纳。

习题2

证明： $\prod_{1 \le i \lt j \le n}(a_i-a_j)$能被 $1^{n-1}2^{n-2}...(n-2)^2(n-1)$整除。

写成Vandermonde行列式，然后加成排列组合的形式，在每行除个阶乘得到上面某道题的形式。

习题3

证明偶阶斜对称方阵的行列式是个完全平方。

用1,2行消去下面行的第1,2列，然后得到的矩阵还是偶阶斜对称矩阵。 然后归纳。

习题4

设 $\forall i , a_{i,i} > 0, \forall i \not = k, a_{i,k} < 0, \sum_{j}a_{i,j}>0$，证明 $|a_{i,j}|_{n×n}>0$.

打洞后归纳。

习题5

证明：主角占优矩阵的行列式不为0.

如果等于0，则以 $a_{i,j}$为系数的齐次线性方程组有非0解。可推出矛盾。

习题6

把 $n$阶行列式 $|\lambda I - A|$展成 $\lambda$的多项式，并用 $\det A$的子式表达它的关于 $\lambda$的各次幂的系数，其中 $A=(a_{i,j})_{n*n}$

$f(\lambda)$求 $i$次导后带入0可得第 $i$项的答案，然后对矩阵求导即可。

第三章 矩阵

3.2 Binet-Cauchy公式

例2

设 $A=(a_{i,j})$为 $n$阶方阵，其中 $a_{i,j}=(i,j)$，求 $|A|$。

利用 $n=\sum_{d|n}\varphi(d)$，构造 $B=(b_{i,j}),b_{i,j}=[i|j]$， $C=(c_{i,j}),c_{i,j}=[j|i]*\varphi(j)$，则 $|B|=1,|C|=\prod_{i=1}^n\varphi(i)$，由 $A=BC$知 $|A|=|C|$。

习题2

证明 $\forall A,B\in M_{n*n}(F),AB-BA \not= I$。

证：用 $tr$函数的可交换性， $tr(AB)-tr(BA)=0 \not= tr(I)$。

习题4

(3)带入循环行列式公式求值即可。

(4)计算b-循环行列式的值。 详见https://baike.baidu.com/item/b%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F/22777133?fr=aladdin

习题10

考虑多项式的每项系数即可。

习题11

考虑Binet-Cauchy公式：

$|A|^2 \xlongequal{Laplace展开} = [\sum B\binom{1,2,...,k}{i_1,i_2,...,i_k}C\binom{1,2,...,n-k}{i_{k+1},i_{k+2},...,i_{n}}]^2 \le [\sum B\binom{1,2,...,k}{i_1,i_2,...,i_k}^2][\sum C\binom{1,2,...,n-k}{i_{k+1},i_{k+2},...,i_{n}}^2]\xlongequal{Binet-Cauchy定理}|B||C|$

3.3 可逆矩阵

##习题1

(3) $w$是 $n$ 次单位根，求 $A^{-1}$，其中 $a_{i,j}=w^{i(j-1)}$。

逆矩阵为 $B,b_{i,j}=w^{-i(j-1)}$。FFT的逆变换。

(4)这是一个比较少元素的矩阵，可列方程组暴力求解。

习题14

设 $A\in R^{2n \times 2n}$，设KaTeX parse error: Undefined control sequence: \pmatrix at position 3: M=\̲p̲m̲a̲t̲r̲i̲x̲{0 & I_n\\-I_n&…，若 $AMA^T=M$，求证 $|A|=1$。

证:

$|A|^2|M|=|M| \Rightarrow |A|^2 = 1$，往证 $|A|=1$。

方法1：

$(AM+MA)A^T = M(I+AA^T)$

注意到KaTeX parse error: Undefined control sequence: \pmatrix at position 9: AM+MA = \̲p̲m̲a̲t̲r̲i̲x̲{B & C \\ -C & …，在复数域上作变换有 $\left|\begin{matrix}B & C\\-C & B\end{matrix}\right| =\left|\begin{matrix}B+iC & C \\ -C + iB & B\end{matrix}\right| =\left|\begin{matrix}B+iC & C \\ 0 & B-iC\end{matrix}\right| = |B+iC||B-iC|$

在实数意义下 $B+iC$与 $B-iC$共轭，故行列式共轭，知 $|B+iC||B-iC|=|B+iC|^2 > 0$，又 $I+AA^T$正定， $|M|=1$，知 $|A^T|>0$

方法2(微小摄动法):

设 $A=\binom{B \ C}{D\ E}$，则 $AMA^T = \binom{BC^T-CB^T \ BE^T-CD^T}{DC^T-EB^T DE^T-ED^T}$ $\Rightarrow BC^T-CB^T = 0, DE^T-ED^T = 0, BE^T - CD^T = I, DC^T-EB^T=I$。

若 $B$可逆，则 $\det\binom{B \ C}{D \ E} = \left|\begin{matrix}B&C \\ 0 & E-DB^{-1}C\end{matrix}\right| = \det(BE^T-BC^T(B^{-1})^TD^T) = \det(BE^T-CD^T)=1$

否则，希望找到 $X \not = 0$,满足 $XC^T = CX^T$，从而 $(B+tX)C^T -C(B+tX)^T=0$。

那么 $XQ^TI_tP^T=PI_tQX^T \Rightarrow P^{-1}XQ^T I_t =I_tQX^T(P^{-1})^T$，不难发现只要 $P^{-1}XQ^T$满足 $\binom{X_1 X_2}{0 \ X_3}$即可，其中 $X_1^T=X_1$，又因为必然存在任意小的 $\epsilon$，满足 $B'=B+\epsilon X$可逆，则：

$\left|\begin{matrix}B' & C \\ D & E\end{matrix}\right|=\det(B'E^T - CD^T) = \det(I+\epsilon XE^T)$，在上式中令 $\epsilon$趋于0，即得 $\det(A)>0$。

3.4 矩阵的秩与相抵

习题2

(3) 计算Cauchy行列式的逆矩阵。

用行列变换的方法过于繁琐，因此介绍求Cauchy行列式的方法。

https://www.cnblogs.com/xixifeng/p/3932238.html

习题15

运用辗转相除法代替Gauss消元即可。

3.5 一些例子

例5

证明 $n$阶幂等方阵 $A$（即 $A^2=A$）的秩等于它的迹。

证：

$A^2=A \Rightarrow I_rQPI_r = I_r \Rightarrow QP=\binom{I_r \ B}{C \ D}$，故 $tr(PI_rQ) = tr(QPI_r) = r=r(A)$。

例6 Frobenius不等式

设 $A\in F^{m\times n}, B \in F^{n \times p}, C \in F^{p \times q}$，证明： $r(ABC)+r(B) \ge r(AB)+r(BC)$

证：

还是用打洞的思想。

$\begin{pmatrix}ABC &0 \\ 0 & B\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}ABC & 0 \\ -BC & B\end{pmatrix} \rightarrow\begin{pmatrix}0 &AB \\ -BC & B\end{pmatrix}$

例8

设 $A \in F^{m \times n},B \in F^{p\times q}, C \in F^{m \times q}, X \in F^{n \times q}, Y \in F^{m \times p}$，证明：

$AX-YB=C 有解 \Leftrightarrow r(\begin{matrix}A & C \\ 0 & B\end{matrix})=r(\begin{matrix}A & 0 \\ 0 & B\end{matrix})$

思路：

$P$( $\begin{matrix}A & C \\ 0 & B\end{matrix}$)Q通过简单的行列变换可变为 $P$( $\begin{matrix}A & 0 \\ 0 & B\end{matrix}$)Q，然后构造出一组解。

习题1

证明：设 $A$是 $n$阶方阵，如果存在正整数 $k$，使得 $r(A^k) = r(A^{k+1})$，则 $r(A^k)=r(A^{k+t}), t\in \N$

证：

$r(AA^{k}A) +r(A^k) \ge 2r(A^{k+1}) \Rightarrow A^{k+2}=A^{k+1}$

习题4

设 $A,B$为 $n$阶方阵， $AB=BA=0$，且 $r(A^2)=r(A)$。证明 $r(A+B)=r(A)+r(B)$。

证：

打洞就完事了。 不过首先有一个引理，存在 $C,s.t.A^2C=A$，很显然，这里就不证了。

$\begin{pmatrix}A &0 \\ 0 & B\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} A & A+B \\ 0 & B\end{pmatrix} \overset{c_1-c_2*AC}\rightarrow\begin{pmatrix}0 &A+B \\ 0 & B\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}0 &A+B \\ 0 & -A\end{pmatrix}\overset{r_2+r_1*AC}\rightarrow\begin{pmatrix}0 &A+B \\ 0 & 0\end{pmatrix}$