哈密顿-凯莱（Hamilton-Cayley）定理的简要证明

这个曾经看来很难的OI知识在学过高代之后就很好证明了，最近学会了一个新的证明方法，比以前的简洁很多，给那些觉得这个定理难的同学分享一下。

Hamilton-Cayley 定理：

设 $A$是 $n$阶矩阵， $f(\lambda)=|\lambda I-A|$为其特征多项式，则 $f(A)=0$。

证明

• 设 $B$为 $(\lambda I-A)$的伴随矩阵（此时 $\lambda$是数域上的数），则 $B(\lambda I - A) = (\lambda I - A)B = f(\lambda) I$（伴随矩阵的性质）。

• $B$可拆分为为若干数字矩阵与未定元 $\lambda$的乘积， $B=\lambda^{n-1}B_{n-1}+\lambda^{n-2}B_{n-2}+...+B_0$

• 现在将 $(\lambda I-A)$和 $B$看做是 $\lambda$为未定元，矩阵为系数的多项式。那么有：
  $(\lambda I - A)B = \lambda^na_n + ... + a_0 = T(\lambda)$ ( $T(\lambda)$是系数为矩阵的多项式)

• 当 $\lambda \in \mathbf{F}$时， $T(\lambda)=f(\lambda)I$(由伴随矩阵的性质)。

• $\Rightarrow T(\lambda) = f'(\lambda)$( $f'(\lambda)$是系数为矩阵的多项式且系数 $f'_i = f_i I$，如若不然，带入实数 $\lambda$不会恒成立上一行的式子)

• $\Rightarrow T(A) = (AI-A)B =0 = f'(A)=f(A)I \Rightarrow f(A)=0$

注意一个细节，矩阵多项式带入矩阵求值，那么内部的矩阵必须是可交换的（因为多项式卷积需要把所有未定元结合起来）。由于 $(\lambda I-A)B=B(\lambda I-A)$，很容易可以看出 $A$与 $B,B_i$都可交换，于是可以带入 $A$求值。

理解

为什么会想到这么证明呢？是因为我们要把特征多项式和矩阵乘积连接起来，然后用矩阵乘积的方法来证明。 而伴随矩阵恰好可以把行列式计算转化为矩阵乘积。观察以上证明过程 $B$的作用主要是连接 $(\lambda I-A)$和 $|\lambda I -A|$。