图像的边缘检测

图像的边缘检测是使用数学方法提取图像像元中具有亮度值（灰度）空间方向梯度大的边、线特征的过程。

边缘可以大致分为两种：阶跃状边缘；屋顶状边缘。

1、一阶微分算子

一阶微分边缘算子也称为梯度边缘算子，它是利用图像在边缘处的阶跃性，即图像梯度在边缘取得极大值的特性进行边缘检测。梯度是一个矢量，具有方向和模值，模值提供了边缘的强度信息，方向提供了边缘的趋势信息。
$\begin{array}{l} {\Delta I=\left(\begin{array}{c} {\frac{\partial I}{\partial x}} \\ {\frac{\partial I}{\partial y}} \end{array}\right)} \\ {\Delta I |=\sqrt{\left(\frac{\partial I}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial I}{\partial y}\right)^{2}}=\sqrt{I_{x}^{2}+I_{y}^{2}}} \\ {\theta=\arctan \left(I_{y} / I_{x}\right)} \end{array}$
傅里叶变换和梯度之间的关系：实际上对图像进行二维傅里叶变换得到的频谱图就是图像梯度的分布图。在傅里叶频谱图上看到的明暗不一的亮点，实际上是图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。
此外，在MATLAB中也提供了相关的图像边缘检测的函数，其调用格式如下：（其中，I是输入的灰度图像，thresh是阀值，direction是方向）

BW=edge（I，'sobel'，thresh，direction）
BW=edge（I，'prewitt'，thresh，direction）
BW=edge（I，'roberts'，thresh）
BW=edge（I，'log'，thresh）%LoG算法

一阶边缘检测算子具有实现简单、运算速度快等特点，但受噪声的影响很大，不能准确地确定边缘的位置，造成这种情况的原因主要有：实际边缘灰度与理想边缘灰度值间存在差异，可能检测出多个边缘；算子尺度固定不利于检测出不同尺度的边缘。

二阶微分边缘检测算子是利用图像在边缘处的阶跃性导致图像二阶微分在边缘处出现零值这一特性进行边缘检测的，因此，该方法也称为过零点算子和拉普拉斯算子。
$\begin{array}{c} {\nabla^{2} I=\frac{\partial^{2} I}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} I}{\partial y^{2}}} \\ {\frac{\partial^{2} I}{\partial x^{2}}=I(i, j+1)-2(i, j)+I(i, j-1)} \\ {\frac{\partial^{2} I}{\partial y^{2}}=I(i, j+1)-2(i, j)+I(i-1, j)} \end{array}$
二阶微分算子检测边缘的方法简单，但它的缺点是对噪声十分敏感，同时也不能提供边缘的方向信息。为了实现对噪声的抑制，Marr等提出了高斯拉普拉斯（Laplacian of Gaussian，LoG）的方法。
利用LoG算子进行边缘检测：①采用高斯函数作为低通滤波器滤波；②对得到的图像进行过零检测；③按照规则判断边缘点。
基于LoG算子的边缘提取的结果要优于Roberts算子和Sobel算子，特别是边缘比较完整，位置比较精确，抗噪声能力也较好。

边缘检测算子应该只对边缘进行响应，检测算子不漏检任何边缘，也不应将非边缘标记为边缘。

精确的定位。检测到的边缘与实际边缘之间的距离要尽可能小。

明确的响应。对每一条边缘只有一次响应，只得到一个点。

利用Canny算子进行边缘提取主要分4步进行：①去噪声，使用高斯函数进行平滑滤波；②计算梯度值和方向角；③非最大值抑制；④滞后阈值化
Canny算子采用了高斯函数对图像进行平滑处理，因此，具有较强的噪声抑制能力；同样，该算子也将一些高频边缘平滑掉，易造成边缘丢失。Canny算子采用了双阈值算法检测和连接边缘，边缘的连续性较好。

SUSAN称为最小核值相似区，是Smallest Univalue Segment Assimilating Nucleus的缩写，SUSAN使用一个原型模板和一个圆的中心点，通过圆中心点像元值与模板圆内其他像元值的比较，统计出与圆中心点像元值近似的像元数量，并与所设定的阀值进行比较，以确定是否是边缘。门限g通常取5*5或者37
基于SUSAN算子的边缘检测有如下优良性能：①抗噪声能力好；②算法使用灵活；③运算量小，速度快；④可以检测边缘的方向信息。

在这里插入图片描述

小波变换的优点是在时域和频域都有良好的局部特性，这一点可以用来进行图像的边缘检测。小波变换在时空域中分辨率随频率的高低而相应调节：低频粗疏、高频精细，它具有可以聚焦到被测对象任意细节上的特点。
基于小波变换模极大值的边缘检测的具体实现步骤：①对于原始图像进行二进离散平稳小波变换；②通过变换系数，得到图像的水平方向和垂直方向的小波变换系数；③求局部模极大值。

形态边缘检测器主要利用形态梯度的概念，虽然对噪声也比较敏感，但不会加强或放大噪声。
单尺度形态学梯度定义为下式，式中， $f$ 为原始图像， $g$ 为结构元素。 $f \oplus g$ 表示利用结构元素对输入图像 $g$ 进行膨胀, $f \Theta g$ 表示利用结构元素 $g$ 对输入图像 $f$ 进行腐蚀。
$\operatorname{Grad}[f(x)]=(f \oplus g)-(f \Theta g)$
单尺度形态学梯度算子的性能取决于结构元素g的大小。如果g足够大，则对斜坡边缘来说，这个梯度算子的输出等于边缘高度。大的机构元素会造成边缘间严重地相互影响，这将导致梯度极大值与边缘不一致；然而，若结构元素过小，则梯度算子虽有高的分辨率，但对斜坡边缘会产生一个很小的输出结果。
多尺度梯度
$\mathrm{MG}(f)=\frac{1}{n} \times \sum_{i=0}^{n}\left[\left(\left(f \oplus B_{i}\right)-\left(f \Theta B_{i}\right)\right) \Theta B_{i-1}\right]$

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