[数据结构]-05栈

栈

只能在表的同一端进行插入和删除操作，且操作遵循先进后出原则的线性表称为栈。

栈的变化端称为栈顶，进行插入、删除操作。
栈的封口端称为栈底。
栈的先进后出原则：先入栈的元素在栈底，最后放入的元素在栈顶。

若用 $S=(a_1,a_2,a_3,...,a_n)$ 表示栈，则：

表尾端称为栈顶，表头端称为栈底。
$a_1$ 称为栈底元素， $a_n$ 称为栈顶元素。
当栈中无元素时称为空栈。

栈常见的两种操作：

入栈：添加一个元素到栈顶。
出栈：删除栈顶最后一个元素。

栈的基本操作

栈的初始化
判断栈是否为空
获取栈顶元素
入栈
出栈
遍历栈
清空栈

顺序栈

用顺序存储方式存储元素的栈称为顺序栈。

栈指针的设置及栈空、栈满判断：

设 $base$ 为栈底指针，指示栈底元素在顺序栈中的位置，此指针不随栈的操作而变化
设 $top$ 为栈顶指针，指示栈顶元素的下一个位置，初始值指向栈底： $top == base$
用 $stackSize$ 表示栈的最大容量
当 $base == top$ 时栈空， $top - base = stackSize$ 时栈满

顺序栈的初始化

申请容量为 $maxSize$ 的存储空间， $base$ 指向空间的基地址。
设栈顶指针 $top == base$ 。
设 $stacksize == maxSize$ 。

顺序栈的入栈

判断栈是否为满，若栈满则不再添加元素。
否则，将新的元素压入栈顶，栈顶指针加 1： $top = top + 1$ 。

顺序栈的出栈

判断栈是否为空，若栈空则不再删除元素。
否则，栈顶指针减 1 ： $top = top - 1$ ，栈顶元素出栈。

取栈顶元素

当栈非空时，返回当前栈顶元素值，栈顶保持不变

链式栈

用链表存储方式实现的栈称为链式栈。

链栈中如何区分栈顶和栈底？

若链尾为栈顶，每次栈顶的操作都要对链表进行遍历，时间复杂度为 $O(n)$ ；
若链头为栈顶，则栈操作的时间复杂度为 $O(1)$ ；
因此从时间复杂度上分析，宜采用链头作为栈顶。

链栈操作特点：

入栈：插入数据到链栈的头部；
出栈：删除链栈的首元结点；
因此链栈是只能在头部进行插入和删除的特殊链表。

链栈的初始化

操作步骤如下：

构造一个空栈
栈顶指针设置为空： $top == null$

链栈的入栈

将数据元素插入到栈顶：

创建新结点 $e$
将新结点插入到链栈的首元结点之前，修改新结点指针域： $e.next = top$
修改栈顶指针： $top = e$

链栈的出栈

删除首元结点：

判断链栈是否为空
若链栈不为空，获取首元结点 $a_n$ 的数据域
修改栈顶指针，使其指向首元结点的下一个结点： $top = a_n.next$
释放 $a_n$ 结点

链栈的取栈顶元素

当栈非空时，返回当前栈顶元素值，栈顶保持不变

链栈的特点

链栈不需要头结点，链表的头指针指向栈顶，插入和删除仅在栈顶处执行；
基本不存在栈满的情况，空栈相当于头指针指向空。

顺序栈和链式栈的比较

存储空间：顺序栈在初始化时必须申请存储空间，若栈不满时会造成存储空间的浪费；
链式栈所需空间是随时申请的，比顺序栈仅存储结点相比，需要额外申请空间存储其指针域。

时间复杂度：只针对栈顶的基本操作(入栈、出栈、栈元素的存取)，顺序栈和链式栈的时间复杂度均为 $O(1)$ 。

栈应用

应用场景：在解决某个问题的时候，只要求关心最近一次的操作，并且在操作完成了之后，需要向前查找到更前一次的操作。

进制转换：十进制数字和其他进制之间进行转换。
表达式求值：实现计算器的计算功能。
括号匹配的检验：给出一串由括号组成的字符串，判断所有括号是否满足两两配对。
迷宫求解。
(逆)波兰表达式求值：根据(逆)波兰表达式计算结果。
八皇后问题：在 $8*8$ 的国际象棋上摆放 8 个皇后，使其互不攻击（任意两个皇后都不在同一行、同一列、同一斜线上），该如何摆放，共有多少种摆放方式。
汉诺塔问题。

算法例题

1.括号匹配的检验
例题：给定一个只包括 ‘(’，’)’，’{’，’}’，’[’，’]’ 的字符串，判断字符串是否有效。
说明：
有效字符串需满足：

左括号必须用相同类型的右括号闭合。
左括号必须以正确的顺序闭合。
空字符串可被认为是有效字符串。

示例 1：
输入: “()”
输出: true

示例 2：
输入: “(]”
输出: false

解题思路：
利用一个栈，不断地往里压左括号，一旦遇上了一个右括号，我们就把栈顶的左括号弹出来，表示这是一个合法的组合，以此类推，直到最后判断栈里还有没有左括号剩余。

2.每日温度
例题：根据每日气温列表，请重新生成一个列表，对应位置的输入是你需要再等待多久温度才会升高超过该日的天数。如果之后都不会升高，请在该位置用 0 来代替。
说明：气温列表 temperatures 长度的范围是 [1, 30000]。

示例：给定一个数组 T 代表了未来几天里每天的温度值，要求返回一个新的数组 D，D 中的每个元素表示需要经过多少天才能等来温度的升高。
给定 T：[23, 25, 21, 19, 22, 26, 23]
返回 D: [ 1, 4, 2, 1, 1, 0, 0]

解题思路：
第一个温度值是 23 摄氏度，它要经过 1 天才能等到温度的升高，也就是在第二天的时候，温度升高到 24 摄氏度，所以对应的结果是 1。接下来，从 25 度到下一次温度的升高需要等待 4 天的时间，那时温度会变为 26 度。

思路 1：最直观的做法就是针对每个温度值向后进行依次搜索，找到比当前温度更高的值，这样的计算复杂度就是 $O(n^2)$ 。
但是，在这样的搜索过程中，产生了很多重复的对比。例如，从 25 度开始往后面寻找一个比 25 度更高的温度的过程中，经历了 21 度、19 度和 22 度，而这是一个温度由低到高的过程，也就是说在这个过程中已经找到了 19 度以及 21 度的答案，它就是 22 度。

思路 2：可以运用一个堆栈 stack 来快速地知道需要经过多少天就能等到温度升高。从头到尾扫描一遍给定的数组 T，如果当天的温度比堆栈 stack 顶端所记录的那天温度还要高，那么就能得到结果。

对第一个温度 23 度，堆栈为空，把它的下标压入堆栈；
下一个温度 24 度，高于 23 度高，因此 23 度温度升高只需 1 天时间，把 23 度下标从堆栈里弹出，把 24 度下标压入；
同样，从 24 度只需要 1 天时间升高到 25 度；
21 度低于 25 度，直接把 21 度下标压入堆栈；
19 度低于 21 度，压入堆栈；
22 度高于 19 度，从 19 度升温只需 1 天，从 21 度升温需要 2 天；
由于堆栈里保存的是下标，能很快计算天数；
22 度低于 25 度，意味着尚未找到 25 度之后的升温，直接把 22 度下标压入堆栈顶端；
后面的温度与此同理。
该方法只需要对数组进行一次遍历，每个元素最多被压入和弹出堆栈一次，算法复杂度是 $O(n)$ 。

3.八皇后问题
在一个 N×N 的国际象棋棋盘上放置 N 个皇后，每行一个并使她们不能互相攻击。给定一个整数 N，返回 N 皇后不同的的解决方案的数量。

解题思路：
解决 N 皇后问题的关键就是如何判断当前各个皇后的摆放是否合法。

利用一个数组 columns[] 来记录每一行里皇后所在的列。例如，第一行的皇后如果放置在第 5 列的位置上，那么 columns[0] = 6。从第一行开始放置皇后，每行只放置一个，假设之前的摆放都不会产生冲突，现在将皇后放在第 row 行第 col 列上，检查一下这样的摆放是否合理。

方法就是沿着两个方向检查是否存在冲突就可以了。

代码实现：
首先，从第一行开始直到第 row 行的前一行为止，看那一行所放置的皇后是否在 col 列上，或者是不是在它的对角线上，代码如下。

boolean check(int row, int col, int[] columns) {
    for (int r = 0; r < row; r++) {
        if (columns[r] == col || row - r == Math.abs(columns[r] - col)) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

然后进行回溯的操作，代码如下。

int count;

int totalNQueens(int n) {
    count = 0;
    backtracking(n, 0, new int[n]);
    return count;
}

void backtracking(int n, int row, int[] columns) {
    // 是否在所有n行里都摆放好了皇后？
    if (row == n) {
        count++; // 找到了新的摆放方法
        return;
  }

    // 尝试着将皇后放置在当前行中的每一列   
    for (int col = 0; col < n; col++) {
        columns[row] = col;

        // 检查是否合法，如果合法就继续到下一行
        if (check(row, col, columns)) {
            backtracking(n, row + 1, columns);
        }

        // 如果不合法，就不要把皇后放在这列中（回溯）
        columns[row] = -1;
    }
}

参考

《数据结构(C语言版)》严魏敏、吴伟民著
《数据结构(第3版)》刘大有等著
《搞定数据结构与算法》苏勇

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