Educational Codeforces Round 74 E - Keyboard Purchase 状压dp

E. Keyboard Purchase

题意：你要给字母表的前 $m$个字母排列，定义每对字母的距离： $dist(s_{i}, s_{j})=abs(i-j)$，给定一个长度为 $n$的字符串 $s$，求 $\sum_{i = 2}^{n}dist(s_{i-1},s_{i})$

解法：设 $cnt[s]$为 $s$二进制下 $1$的数量，设 $w[i][j]$为字母 $i$和字母 $j$在 $s$中相邻的次数，我们逐位来填字母，设 $dp[S]$为前 $cnt[S]$位填的字母集合为 $S$，每个已填的字母对其他所有字母在前 $cnt[S]$位的贡献的总和的最小值为 $dp[S]$，假设我们接下来在 $cnt[S]+1$位又填了一个字母使得状态变成了 $S2$，对于 $i \in S2$， $j \notin S2$，显然又增加一次距离的贡献，那么 $dp[S2]=min(dp[S2]，dp[S]+w[i][j])$， $2^{m}m^{2}$复杂度即可解决这题

//预处理可以降低一个m

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 5;
int a[21], w[21][21], dp[1 << 20];
char s[maxn];
int main() {
    int n, m;
    scanf("%d%d%s", &n, &m, s + 1);
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        int u = s[i] - 'a';
        int v = s[i - 1] - 'a';
        w[u][v]++;
        w[v][u]++;
    }
    int N = 1 << m;
    for (int i = 1; i < N; i++) {
        dp[i] = 1e9;
        for (int j = 0; (1 << j) <= i; j++)
            if (i >> j & 1)
                dp[i] = min(dp[i], dp[i ^ (1 << j)]);
        for (int j = 0; (1 << j) <= i; j++)
            if (i >> j & 1)
                for (int k = 0; k < m; k++)
                    if (!(i >> k & 1))
                        dp[i] += w[j][k];
    }
    printf("%d\n", dp[N - 1]);
}