[Codeforces1238E]Keyboard Purchase

题意

一个只包含前 $m$个字母的长度为 $n$的字符串 $s$

对于一个包含前 $m$个字母的排列，设 $pos_c$表示字母 $c$在排列中的位置

求一个排列使得 $\sum_{i=2}^n|pos_{s[i]}-pos_{s[i-1]}|$最小，输出最小值即可

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题解

设 $cnt_{x,y}$表示字母 $x,y$有多少次相邻（特别的 $cnt_{x,x}=0$）

那么就是最小化 $\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^{i-1}cnt_{i,j}|pos_i-pos_j|$

注意到 $m$只有 $20$，可以考虑状压，设全集为 $T$

对于一个集合 $s$，假设新加入一个字母 $x$，我们就把 $x$放在排列的 $|s|$位（由于是绝对值的差，全员的位置都 $-1$不影响结果）

可以证明这样做是能取到所有最优情况的，因为扩展到集合 $s$时， $s$中每个字母放在最后的情况都会被算到

那么把 $x$加入集合的代价为 $\sum_{y\in s}cnt_{y,x}(|s|-pos_y)$

$($注意此时是无法暴力存下位置然后枚举转移的，因为可能会有很多总代价相同的排列，时间复杂度可以达到 $O(m^32^m+n)$ $)$

设 $sum_{s,x}=\sum_{y\in s}cnt_{y,x}$，这个是可以预处理出来的

主要考虑后面减去的 $pos_y$如何转化

而由于我们无法存下位置，所以只能在 $x$上面想如何处理

假设再新加入一个字母 $z$，则其代价中与 $x$有关的就只有 $-cnt_{z,x}pos_x$这一项

而此时 $pos_x=|s|$，其中 $z\in T-s$

所以对于所有的 $z$， $x$的贡献和就为 $-|s|\times sum_{T-s,x}$

所以 $\sum_{y\in s}cnt_{x,y}(|s|+1-pos_y)$就可以等价转化为 $|s|\times(sum_{s,x}-sum_{T-s,x})$

于是设 $f_s$表示集合 $s$的等价代价的最小和，那么

$f_{s|x}=\min_{x\notin s}f_{s}+|s|\times(sum_{s,x}-sum_{T-s,x})$

时间复杂度 $O(m2^m+n)$

#include<bits/stdc++.h>
#define fp(i,a,b) for(register int i=a,I=b+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(register int i=a,I=b-1;i>I;--i)
#define file(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
template<class T>inline bool cmax(T&a,const T&b){return a<b?a=b,1:0;}
template<class T>inline bool cmin(T&a,const T&b){return a>b?a=b,1:0;}
using namespace std;
const int N=1e5+5,M=25,S=(1<<21)+5;
typedef long long ll;
int n,m,T,Mi[M],cnt[M][M];
int f[S],Log[S],cntBit[S],sumC[S][M];
char s[N];
int main(){
	#ifndef ONLINE_JUDGE
		file("s");
	#endif
	scanf("%d %d\n",&n,&m);
	gets(s+1);T=(1<<m)-1;
	fp(i,2,n)
		++cnt[s[i]-'a'][s[i-1]-'a'],
		++cnt[s[i-1]-'a'][s[i]-'a'];
	fp(i,0,m)cnt[i][i]=0;
	Mi[0]=1;Log[0]=-1;
	fp(i,1,m-1)Mi[i]=Mi[i-1]<<1;
	fp(s,1,T){
		Log[s]=Log[s>>1]+1;
		cntBit[s]=cntBit[s>>1]+(s&1);
		int y=Log[s&(-s)];
		fp(x,0,m-1)sumC[s][x]=sumC[s^Mi[y]][x]+cnt[x][y];
	}
	memset(f,127,sizeof f);f[0]=0;
	fp(s,0,T)fp(i,0,m-1)if(!(s&Mi[i]))
		cmin(f[s|Mi[i]],f[s]+cntBit[s]*(sumC[s][i]-sumC[T^s][i]));
	printf("%d\n",f[T]);
return 0;
}