Educational Codeforces Round 42 E 贪心

题目链接

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题意：
数轴上有三种类型的点：B型点、R型点、P型点。
你可以连接任意两个点，连接的代价是两个点的距离，即坐标之差。
而最终希望达到的条件是：
如果去除所有B型点，R型点和P型点中任意两个点连通。
如果去除所有R型点，B型点和P型点中任意两个点连通。

现在给定n个点的坐标和类型，求满足条件的最小代价。

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思路：

首先有一个显然合法的可行方案：
即先单独考虑所有B型点和P型点，相邻的两个点连边，最终代价为最右边的点（B/P）和最左边的点（B/P）的距离。
随后单独考虑所有R型点和P型点，分析同上。

可是考虑一个特殊情况，有四个点，从左到右的坐标及类型为：
P(0) 、 B(1) 、 R(99) 、 P(100)

对于上面的方案，代价显然是： $Ans = (100-0) + (100-0) = 200$
而更好的选择是：将两个P点连接起来，随后B点连接左边的P点，R点连接右边的P点，此时代价为：
$Ans = (100-0) + (1-0) + (100-99) = 102$

可以发现：
如果将两个相邻的P点连接起来，从而B型点和R型点连接时均可以共用这一条边，此时可能会让总代价变得更小。

故我们可以先按第一个方案算出一个初步的总代价$Ans$
随后按坐标从左到右枚举两个相邻的P点：
而对于原来按第一种方案连接的结构，比如当考虑B型点和P型点时，连接是：

$$P_0 - B_0 - B_1 - B_2 - ... - B_t - P_1$$

而此时因为$P_0$和$P_1$已经连接，故中间有一条边可以断开不连，由贪心的思想显然断开的边越长越好，假设对于该情况，断开的边最长长度为$Fun(B)$

同理，可以求出$Fun(R)$

则对于两个相邻P点构成的子区间，此时需要付出的总代价为：(假设 $Len = P_1 - P_0$)

$$Sum1 = Len + (Len - Fun(B)) + (Len - Fun(R)) = 3Len - Fun(B) - Fun(R)$$

而原来需要付出的总代价为：

$$Sum2 = Len + Len = 2Len$$

故对于原来得到的初步总代价$Ans$，我们可以更新为：

$$Ans -= Sum2 - Sum1$$

此题得解。

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代码：

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;

char s[100+10];
vector<int> vR,vB,vP;

ll Fun(const vector<int>& v,int l,int r){
    int st = lower_bound(v.begin(),v.end(),l) - v.begin();
    int ed = lower_bound(v.begin(),v.end(),r) - v.begin();

    ll res = 0;
    for(int i=st ;i<ed ;i++) res = max(res,1LL*v[i+1]-1LL*v[i]);
    return res;
}

int main(){
    int n;scanf("%d",&n);

    for(int i=1 ;i<=n ;i++){
        int x;
        scanf("%d%s",&x,s);

        if(s[0] == 'R')         vR.push_back(x);
        else if(s[0] == 'B')    vB.push_back(x);
        else{
            vR.push_back(x);
            vB.push_back(x);
            vP.push_back(x);
        }
    }
    sort(vR.begin(),vR.end());
    sort(vB.begin(),vB.end());
    sort(vP.begin(),vP.end());

    ll ans = 0;
    if(vR.size() > 1) ans += vR[vR.size()-1] - vR[0];
    if(vB.size() > 1) ans += vB[vB.size()-1] - vB[0];

    int Siz = vP.size();
    for(int i=0 ;i<Siz-1 ;i++){
        int l = vP[i],r = vP[i+1];
        ans -= max(0LL,Fun(vB,l,r) + Fun(vR,l,r) - 1LL*(r-l));
    }
    printf("%I64d\n",ans);
    return 0;
}