hello！
这里是y_immortal noip2017省一蒟蒻QWQ分特别低
ps：这篇博文里有很多内容是源自我的一位学长的课件
感觉已经把信竞博客写成数学博客了
首先
什么是矩阵？
由m×n个数aij排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m×n矩阵。记作：
这m×n 个数称为矩阵A的元素，aij位于矩阵A的第i行第j列。
矩阵的一些基本概念
相等 A=B
当A和B的行数，列数都相等，且每一行和每一列的元素都对应相等的时候，我们称A和B是相等的矩阵
元素
矩阵中的每一个数都是一个元素，其实A的第i行第j列的元素可以写作entry(A,i,j)
对角线元素
顾名思义，就是对角线上的元素咯，也就是 entry（A，i，i）。
零矩阵 O
所有元素都是0的矩阵
表示A的主对角线上的元素之和，记为tr（A），tr（A）=sigma（entry（A，i，i））
行向量、列向量
emmmm 相信各位都是高中的人士？如果没学过向量的话，可以把向量看成......带方向的线段？嗯 差不多
相信大家平常接触的都是二维向量例如（x,y)一类的
而在矩阵中
我们把一个1*n的矩阵看成一个n维的向量（x1,x2,x3,x4....,xn)
把一个n*1看成一个n维的列向量（y1,y2,y3,y4.......yn)
同时科普一个知识：
两个向量的内积，是 二者对应的各维元素的乘积之和 例如向量（x1,y1)和(x2,y2)的内积就是x1*x2+y1*y2
好啦！
这里正式介绍矩阵乘法，A*B=C
则C矩阵中的第i行第j列元素，就是A矩阵的第i个行向量和B的第j个列向量的内积
举个例子，字丑勿喷~
那么我们显而易见一个很重要的结论：
只要当A矩阵为x*y，B矩阵的乘法y*z时，二者才可以进行乘法
并且乘出的C矩阵是一个x*z的矩阵
那....嗯 估计差不多了，权当大家理解的矩阵乘法。
要是不理解的话，去网上找几道练习题 很快就熟练掌握了
矩阵的一些基本性质 ~这里不作过多解释了，
有一些要注意的问题：
(1)矩阵乘法不满足交换律（因为交换后，可能无法进行乘法，详解请看上面那个显而易见的结论
(2)AC=O不能推出A=O或C=O（相加后为零，并不代表最初是0矩阵）
(3)AB=AC,A≠O不能推出B=C （emmmm 我也不知道怎么解释，找一个反例就是了）
(4)(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2≠A^2+2AB+B^2(因为不满足交换律~）
(5)朴素的矩阵乘法是O(n^3)的
(6)与所有n阶矩阵乘法可交换的矩阵是纯量阵（哈哈哈，这条我也不知道啥意思~）
这时候再看矩阵乘法的代码 有没有清晰一点点？
struct Ju{
int a[5][5];
int x,y;
Ju operator* (Ju b)
{
Ju ans;
memset(ans.a,0,sizeof(ans.a));
ans.x=x;
ans.y=b.y;
for(int i=0;i<=ans.x;i++)
for(int j=0;j<=ans.y;j++)
for(int k=0;k<=y;k++)
ans.a[i][j]=(ans.a[i][j]+a[i][k]*b.a[k][j])%mod;
return ans;
}
};
Ju aa,b,c;
void kpow(Ju a,int b)
{
Ju ans;
memset(ans.a,0,sizeof(ans.a));
for (int i=1;i<=a.x;i++) ans.a[i][i]=1;
ans.x=a.x;
ans.y=a.y;
while (b)
{
if (b&1) ans=ans*a;
a=a*a;
b>>=1;
}
aa=aa*ans;
}
这里附上一道矩阵乘法的经典例题 poj3070
大致题意是：
求Fibonacci数列的第n项
F0=1
F1=1
Fn=Fn-1+Fn-2 (n>=2)
n<=1000000000
一看这个复杂度 很容易就想到矩阵快速幂了QWQ （因为别的算法跑不过呀）
那么，我们该怎么建立联系呢？
那么我们就可以从最基本的想，f0，f1如何转移到f1,f2呢？
经过Fn=Fn-1+Fn-2 我们可以发现，f1=f1,而f2=f1+f0 这个式子 很像一个内积哦
好了
那么A矩阵就是
0 1
1 1了
构造完成。
那么怎么快速计算A的n次方？ ——就是快速幂了啦~
时间复杂度O(2^3 log n)
下面附上代码
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn = 110;
const int mod = 10000;
int n;
struct Ju{
int a[5][5];
int x,y;
Ju operator* (Ju b)
{
Ju ans;
memset(ans.a,0,sizeof(ans.a));
ans.x=x;
ans.y=b.y;
for(int i=0;i<=ans.x;i++)
for(int j=0;j<=ans.y;j++)
for(int k=0;k<=y;k++)
ans.a[i][j]=(ans.a[i][j]+a[i][k]*b.a[k][j])%mod;
return ans;
}
};
Ju aa,b,c;
void kpow(Ju a,int b)
{
Ju ans;
memset(ans.a,0,sizeof(ans.a));
for (int i=1;i<=a.x;i++) ans.a[i][i]=1;
ans.x=a.x;
ans.y=a.y;
while (b)
{
if (b&1) ans=ans*a;
a=a*a;
b>>=1;
}
aa=aa*ans;
}
int main()
{
while (1)
{
aa.x=1;
aa.y=2;
aa.a[1][1]=1;
aa.a[1][2]=1;
c.x=2;
c.y=2;
c.a[1][1]=0;
c.a[1][2]=1;
c.a[2][1]=1;
c.a[2][2]=1;
scanf("%d",&n);
if (n==-1) return 0;
if (n==0) {
printf("0\n");
}
else
{
kpow(c,n-2);
printf("%d\n",aa.a[1][2]);
}
}
}
早年码风，比较清奇
好啦，矩阵乘法就介绍这么多。
如果您们能从我的博客得到任何一点收获，对我来说都是莫大的荣幸
共勉！
from y_immortal