float表示的数并不连续的原因

昨天室友跟我提到了一个特别奇怪的情况

float f=0;
for(int i=0;i<1e8;++i)++f;
printf("%f",f);

然后结果非常尴尬，本该输出$10^8$ ，然而结果却是$2^{24}$ :16777216,原因？
浮点数标准IEE754里浮点数前一位为符号位，再八位为指数位，最后23位为小数位。
当浮点数f为16777216时，表示为$2^{24}(1+0)$.
二进制表示为：

$$0_00011000_000000000000000000$$
我们这时能增加的最小的值就是将23位小数位的最后一位变成1
即： $$0_00011000_000000000000000001$$
最后表示结果为 $$2^{24}(1+2^{-23})$$
比之前大2，为16777218.

也就是说16777217这个数没有办法用一个单精度浮点数表示，
也就是说之前的程序把f加到16777216之后再对f+1成为的16777217不能被表示，于是就又自动缩回16777216，也就导致了不论怎么++也不变的尴尬情况。

这也再一方面说明了实际上浮点数并不是连续的，而是离散的。这与我们正常人的感觉相悖。
实际上可以推导单精度浮点数在8388608之后就不能表示小数，在16777216之后就不能表示奇数，在 33554432之后每两个能表示的数之间的间隔就是4。

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