6491. 【GDOI2020模拟03.04】铺路

题目描述

题解

结论：存在一种合法方案当且仅当所有联通块大小为偶数

证明：随便做一个生成树，然后每次断掉一条两边大小都为偶数的边

断完之后变成若干棵树，每棵树大小为偶数且每条边两侧的块大小都为奇数

选取当前的所有边，若存在度数为偶数的点，那么总点数为偶数*断开后块大小(奇数)+1，结果为奇数，与条件矛盾

同时还有一个性质，改变断边的顺序不会影响到最终断边方案

因为每次断掉的大小都为偶数，不会使原来两侧是大小是奇数的加上后变为偶数

---

从后往前做，先假设所有边都给出

把边从小到大排序做生成树，直到全部块都为偶数

那么最后加入的那条边的长度即为答案

因为答案=断边之后剩下的最大边，而加入的最后一条边会把两个奇数块合并，也就是说必然会保留

把-1看成+inf，答案显然单调不增，反着做就是单调不减

那么对于<=当前答案的边就可以全部丢到图里备选，显然不会使奇偶性改变or使答案变小

从后往前线段树分治，对于一个叶子节点如果图不满足条件就把未加的边从小到大加

每经过一条边就把它丢到[出现位置,当前位置-1]处（边遍历边修改）

答案就是当前丢到图中的最大边权

（至于为什么从小到大丢就可以最优……应该是和生成树一类的吧，也许可以用拟阵证明）

code

#include <bits/stdc++.h>
#define fo(a,b,c) for (a=b; a<=c; a++)
#define fd(a,b,c) for (a=b; a>=c; a--)
#define ll long long
#define file
using namespace std;

struct type{
    int x,y,s,id,X,Y,S;
} a[300001];
int ans[300001],fa[100001],d[100001],size[100001],n,m,i,j,k,l,sum,L;
vector<int> tr[1200001];

bool cmp(type a,type b)
{
    return a.s<b.s;
}

int gf(int t)
{
    while (fa[t]!=t) t=fa[t];
    return t;
}

void swap(int &x,int &y)
{
    int z=x;x=y;y=z;
}

void link(int id)
{
    int x=a[id].x,y=a[id].y;
    
    x=gf(x);y=gf(y);
    if (x==y) {a[id].X=0;return;}
    
    if (d[x]>d[y]) swap(x,y);
    a[id].X=x,a[id].Y=y;
    fa[x]=y;
    
    a[id].S=d[x]==d[y];
    d[y]+=d[x]==d[y];
    
    sum-=(size[x]&1)+(size[y]&1);
    size[y]+=size[x];
    sum+=(size[y]&1);
}

void cut(int id)
{
    if (!a[id].X) return;
    
    int x=a[id].X,y=a[id].Y;
    
    fa[x]=x;
    d[y]-=a[id].S;
    
    sum-=(size[y]&1);
    size[y]-=size[x];
    sum+=(size[x]&1)+(size[y]&1);
}

void change(int t,int l,int r,int x,int y,int s)
{
    if (x>y) return;
    
    int mid=(l+r)/2;
    
    if (x<=l && r<=y)
    {
        tr[t].push_back(s);
        return;
    }
    
    if (x<=mid)
    change(t*2,l,mid,x,y,s);
    if (mid<y)
    change(t*2+1,mid+1,r,x,y,s);
}

void dfs(int t,int l,int r)
{
    int mid=(l+r)/2,i,L2,N=tr[t].size();
    
    fo(i,0,N-1) link(tr[t][i]);
    
    if (l==r)
    {
        L2=L;
        while (L<=m && sum)
        {
            if (a[L].id<=l)
            link(L),change(1,1,m,a[L].id,l-1,L);
            ++L;
        }
        
        if (sum)
        ans[l]=-1;
        else
        ans[l]=a[L-1].s;
        
        fd(i,L-1,L2) if (a[i].id<=l) cut(i);
        fd(i,N-1,0) cut(tr[t][i]);
        return;
    }
    
    dfs(t*2+1,mid+1,r);
    dfs(t*2,l,mid);
    
    fd(i,N-1,0) cut(tr[t][i]);
}

int main()
{
    freopen("road.in","r",stdin);
    #ifdef file
    freopen("road.out","w",stdout);
    #endif
    
    scanf("%d%d",&n,&m);
    if (n&1)
    {
        fo(i,1,m) printf("-1\n");
        return 0;
    }
    fo(i,1,m)
    scanf("%d%d%d",&a[i].x,&a[i].y,&a[i].s),a[i].id=i;
    
    fo(i,1,n) fa[i]=i,d[i]=size[i]=1;
    
    sort(a+1,a+m+1,cmp);
    
    sum=n;L=1;
    dfs(1,1,m);
    
    fo(i,1,m)
    printf("%d\n",ans[i]);
    
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    
    return 0;
}