【51nod 1961】 Power Sum（生成函数 / 多项式）

传送门

考虑设 $P(x)=\sum_{i-1}^{\infty}p_ix^i$
那么用这个题的推导方法
可以得到
$P(x)=n-x[\ln(\prod_k{1-a_kx})]'$
那么有
$f(x)=\prod_{k}1-a_kx=e^{\int\frac{n-P(x)}{x}\mathrm{dx}}$
于是先多项式 $\exp$求出 $f(x)$

再考虑实际上我们求出所有零点 $x=k$,那么实际上就是存在 $t使得1-a_tk=0$
所以只要找到所有零点即可求出 $a$
由于 $mod$很小，直接考虑求出所有点值

考虑 $DFT$实际上就是求特定的点值的过程
$mod=2^{18}*3+1，g=10$
考虑带入的单位根为 $x=g^3$即 $2^{18}$次单位根
那就得到了所有阶 $ord_x={\min_i(g^i=x)}\mod 3=0$的数的点值
再带入 $x=g^2$则可以得到 $\mod 3=1$的所有数的点值
带入 $x=g$得到 $\mod3=2$的点值
然后判断即可

注意特判 $x=0即a_t=0$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define cs const
#define re register
#define pb push_back
#define pii pair<int,int>
#define ll long long
#define fi first
#define se second
#define bg begin
cs int RLEN=1<<20|1;
inline char gc(){
    static char ibuf[RLEN],*ib,*ob;
    (ib==ob)&&(ob=(ib=ibuf)+fread(ibuf,1,RLEN,stdin));
    return (ib==ob)?EOF:*ib++;
}
inline int read(){
	
    char ch=gc();
    int res=0;bool f=1;
    while(!isdigit(ch))f^=ch=='-',ch=gc();
    while(isdigit(ch))res=(res+(res<<2)<<1)+(ch^48),ch=gc();
    return f?res:-res;
}
template<class tp>inline void chemx(tp &a,tp b){a<b?a=b:0;}
template<class tp>inline void chemn(tp &a,tp b){a>b?a=b:0;}
cs int mod=786433;
inline int add(int a,int b){return (a+=b)>=mod?(a-mod):a;}
inline int dec(int a,int b){a-=b;return a+(a>>31&mod);}
inline int mul(int a,int b){static ll r;r=1ll*a*b;return (r>=mod)?(r%mod):r;}
inline void Add(int &a,int b){(a+=b)>=mod?(a-=mod):0;}
inline void Dec(int &a,int b){a-=b,a+=a>>31&mod;}
inline void Mul(int &a,int b){static ll r;r=1ll*a*b;a=(r>=mod)?(r%mod):r;}
inline int ksm(int a,int b,int res=1){for(;b;b>>=1,Mul(a,a))(b&1)&&(Mul(res,a),1);return res;}
inline int Inv(int x){return ksm(x,mod-2);}
inline int fix(ll x){x%=mod;return (x<0)?x+mod:x;}
typedef vector<int> poly;
cs int N=100005;
int fac[N],ifac[N],iv[N],pw[1000005];
namespace Poly{
	cs int G=10,C=18,M=(1<<20)|1;
	int rev[M];
	int *w[C+1];
	inline void init_w(){
		for(int i=1;i<=C;i++)w[i]=new int[(1<<(i-1))|1];
		int wn=ksm(G,(mod-1)/(1<<C));w[C][0]=1;
		for(int i=1,l=(1<<(C-1));i<l;i++)w[C][i]=mul(w[C][i-1],wn);
		for(int i=C-1;i;i--)
		for(int j=0,l=1<<(i-1);j<l;j++)w[i][j]=w[i+1][j<<1];
	}
	inline void init_rev(int lim){
		for(int i=0;i<lim;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)*(lim>>1));
	}
	inline void ntt(int *f,int lim,int kd){
		for(int i=0;i<lim;i++)if(i>rev[i])swap(f[i],f[rev[i]]);
		for(int mid=1,l=1,a0,a1;mid<lim;mid<<=1,l++)
		for(int i=0;i<lim;i+=mid<<1)
		for(int j=0;j<mid;j++)
		a0=f[i+j],a1=mul(f[i+j+mid],w[l][j]),f[i+j]=add(a0,a1),f[i+j+mid]=dec(a0,a1);
		if(kd==-1){
			reverse(f+1,f+lim);
			for(int i=0,iv=Inv(lim);i<lim;i++)Mul(f[i],iv);
		}
	}
	inline poly operator *(poly a,poly b){
		int deg=a.size()+b.size()-1;
		if(deg<=32){
			poly c(deg,0);
			for(int i=0;i<a.size();i++)
			for(int j=0;j<b.size();j++)
			Add(c[i+j],mul(a[i],b[j]));
			return c;
		}
		int lim=1;
		while(lim<deg)lim<<=1;
		init_rev(lim);
		a.resize(lim),ntt(&a[0],lim,1);
		b.resize(lim),ntt(&b[0],lim,1);
		for(int i=0;i<lim;i++)Mul(a[i],b[i]);
		ntt(&a[0],lim,-1),a.resize(deg);
		return a;
	}
	inline poly Inv(poly a,int deg){
		poly b(1,::Inv(a[0])),c;
		for(int lim=4;lim<(deg<<2);lim<<=1){
			c.resize(lim>>1);
			for(int i=0;i<(lim>>1);i++)c[i]=(i<a.size()?a[i]:0);
			c.resize(lim),b.resize(lim);
			init_rev(lim);
			ntt(&b[0],lim,1),ntt(&c[0],lim,1);
			for(int i=0;i<lim;i++)Mul(b[i],dec(2,mul(b[i],c[i])));
			ntt(&b[0],lim,-1),b.resize(lim>>1);
		}
		b.resize(deg);return b;
	}
	inline poly deriv(poly a){
		for(int i=0;i<(int)a.size()-1;i++)a[i]=mul(a[i+1],i+1);
		a.pop_back();return a;
	}
	inline poly integ(poly a){
		a.pb(0);
		for(int i=a.size()-1;i;i--)a[i]=mul(a[i-1],iv[i]);
		a[0]=0;return a;
	}
	inline poly Ln(poly a,int deg){
		a=integ(deriv(a)*Inv(a,deg)),a.resize(deg);
		return a;
	}
	inline poly Exp(poly a,int deg){
		poly b(1,1),c;
		for(int lim=2;lim<(deg<<1);lim<<=1){
			c=Ln(b,lim);
			for(int i=0;i<lim;i++)c[i]=dec(i<a.size()?a[i]:0,c[i]);
			Add(c[0],1),b=b*c,b.resize(lim);
		}
		b.resize(deg);return b;
	}
}
using namespace Poly;
poly p,ans,tp;
inline void init_inv(cs int n=N-5){
	pw[0]=iv[0]=iv[1]=fac[0]=ifac[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)fac[i]=mul(fac[i-1],i);
	ifac[n]=Inv(fac[n]);
	for(int i=n-1;i;i--)ifac[i]=mul(ifac[i+1],i+1);
	for(int i=2;i<=n;i++)iv[i]=mul(mod-mod/i,iv[mod%i]);
	for(int i=1;i<=1000000;i++)pw[i]=mul(pw[i-1],G);
}
int n,a[N];
int main(){
	#ifdef Stargazer
	freopen("lx.in","r",stdin);
	freopen("my.out","w",stdout);
	#endif
	pw[0]=1;
	init_inv(),init_w();
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)p.pb(dec(0,read()));
	p=Exp(integ(p),n+1);
//	poly res(1,1),tt(2,0);
//	for(int i=1;i<=n;i++)tt[0]=1,tt[1]=mod-a[i]res=res*tt;
//	for(int i=0;i<res.size();i++)cout<<res[i]<<" ";puts("");
//	for(int i=0;i<p.size();i++)cout<<p[i]<<" ";puts("");
	int lim=1<<18;
	tp=p,tp.resize(lim);
	init_rev(lim);
	ntt(&tp[0],lim,1);
	for(int i=0;i<lim;i++)if(!tp[i])ans.pb(Inv(pw[i*3]));
	tp=p,tp.resize(lim);
	for(int i=0;i<lim;i++)Mul(tp[i],pw[i]);
	ntt(&tp[0],lim,1);
	for(int i=0;i<lim;i++)if(!tp[i])ans.pb(Inv(pw[i*3+1]));
	tp=p,tp.resize(lim);
	for(int i=0;i<lim;i++)Mul(tp[i],pw[i*2]);
	ntt(&tp[0],lim,1);
	for(int i=0;i<lim;i++)if(!tp[i])ans.pb(Inv(pw[i*3+2]));
	if(p[n]==0)ans.pb(0);
	sort(ans.bg(),ans.end());
	for(int i=0;i<ans.size();i++)cout<<ans[i]<<" ";puts("");
}