广播
广播描述了 NumPy 如何在算术运算期间处理具有不同形状的数组。为了实现形状兼容，较小的数组仍在较大的数组上“广播”。广播提供了一种矢量化数组操作的方法，以便在 C 而不是 Python 中进行循环。
NumPy 通常在逐个元素的基础上对数组对进行操作。在最简单的情况下，两个数组必须具有完全相同的形状，如：
>>> a = np.array([1.0, 2.0, 3.0])
>>> b = np.array([2.0, 2.0, 2.0])
>>> a * b
array([ 2., 4., 6.])
当数组的形状满足某些约束时，NumPy 的广播规放宽了这种约束。当一个数组和一个标量值在一个操作中组合时，会发生最简单的广播示例：
>>> a = np.array([1.0, 2.0, 3.0])
>>> b = 2.0
>>> a * b
array([ 2., 4., 6.])
结果等同于前面的示例，b 是数组。在算术运算期间，可以认为标量 b 被拉伸为和 a 具有相同形状的数组。新元素 b 只是原始标量的副本。实际过程中，NumPy 使用原始标量值而不创建副本，因此广播操作具有内存和计算效率。
一般广播规则
在两个数组上运行时，NumPy 会逐元素地比较它们的形状。它从尾部尺寸开始，并逐渐往前。两个尺寸兼容时有：
1. 形状相同
2. 其中一个是1
如果不满足这些条件，则抛出 ValueError: operands could not be broadcast together 异常，指示数组形状不兼容。结果数组的大小是输入数组每一维度的最大值。
数组不需要具有相同数量的维度。例如，如果您有一个 256*256*3 的RGB值数组，并且希望将图像中的每种颜色缩放不同的值，则可以将图像乘以具有 3 个值的一维数组。根据广播规则排列这些数组的尾轴的大小，表明它们是兼容的：
Image (3d array): 256 x 256 x 3
Scale (1d array): 3
Result (3d array): 256 x 256 x 3
当比较的任何一个尺寸为 1 时，使用另一个尺寸。换句话说，尺寸为 1 的尺寸被拉伸或“复制”以匹配另一个尺寸。
在以下示例中，A 和 B 数组都具有长度为 1 的轴，在广播操作期间会扩展为更大的大小：
A (4d array): 8 x 1 x 6 x 1
B (3d array): 7 x 1 x 5
Result (4d array): 8 x 7 x 6 x 5
以下是一些例子：
A (2d array): 5 x 4
B (1d array): 1
Result (2d array): 5 x 4
A (2d array): 5 x 4
B (1d array): 4
Result (2d array): 5 x 4
A (3d array): 15 x 3 x 5
B (3d array): 15 x 1 x 5
Result (3d array): 15 x 3 x 5
A (3d array): 15 x 3 x 5
B (2d array): 3 x 5
Result (3d array): 15 x 3 x 5
A (3d array): 15 x 3 x 5
B (2d array): 3 x 1
Result (3d array): 15 x 3 x 5
以下是不广播的形状示例：
A (1d array): 3
B (1d array): 4 # trailing dimensions do not match
A (2d array): 2 x 1
B (3d array): 8 x 4 x 3 # second from last dimensions mismatched
例子：
>>> x = np.arange(4)
>>> xx = x.reshape(4,1)
>>> y = np.ones(5)
>>> z = np.ones((3,4))
>>> x.shape
(4,)
>>> y.shape
(5,)
>>> x + y
ValueError: operands could not be broadcast together with shapes (4,) (5,)
>>> xx.shape
(4, 1)
>>> y.shape
(5,)
>>> (xx + y).shape
(4, 5)
>>> xx + y
array([[ 1., 1., 1., 1., 1.],
[ 2., 2., 2., 2., 2.],
[ 3., 3., 3., 3., 3.],
[ 4., 4., 4., 4., 4.]])
>>> x.shape
(4,)
>>> z.shape
(3, 4)
>>> (x + z).shape
(3, 4)
>>> x + z
array([[ 1., 2., 3., 4.],
[ 1., 2., 3., 4.],
[ 1., 2., 3., 4.]])
广播提供了一种便捷的方式来获取两个数组的外积（或任何其他外部操作）。以下示例显示了两个 1-d 数组的外积操作：
>>> a = np.array([0.0, 10.0, 20.0, 30.0])
>>> b = np.array([1.0, 2.0, 3.0])
>>> a[:, np.newaxis] + b
array([[ 1., 2., 3.],
[ 11., 12., 13.],
[ 21., 22., 23.],
[ 31., 32., 33.]])
上边 newaxis 索引操作符插入一个新轴 a，使其成为一个二维 4*1 数组。将 4*1 数组与形状为 (3,) 的 b 组合，产生一个 4*3 数组。
参考资料：
1. NumPy 官方文档：https://numpy.org/devdocs/
