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对于齐次线性方程组,行列式为0,则一定有非零解.
看看问题的来源
⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=0a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=0⋮an1x1+an2x2+⋯+annxn=0
我们改写这个方程为矩阵的形式为
⎝⎜⎜⎜⎛a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann⎠⎟⎟⎟⎞⎝⎜⎜⎜⎛x1x2⋮xn⎠⎟⎟⎟⎞=0
我们可以把矩阵改写称为列向量形式
(a1a2⋯an)⎝⎜⎜⎜⎛x1x2⋮xn⎠⎟⎟⎟⎞=0⇒a1x1+a2x2+⋯+anxn=0
从线性代数的线性相关和非线性相关的知识里面,我们可以得到.
如果
(a1a2⋯an)非线性相关,那么
(x1x2⋯xn)只能都取0.只有当
(a1a2⋯an)线性相关的时候,
(x1x2⋯xn)才可以有非零元素.
而如果
(a1a2⋯an)线性相关,那么下面的行列式就等于0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣=0
于是原命题得证.