递归法的应用：求解汉诺塔问题

• 题目描述：汉诺塔问题是一个经典的问题，其来源据说在19世纪末欧洲的商店中出售一种智力玩具，在一块铜板上有三根杆，最左边的杆自上而下、由小到大顺序串着64个圆盘构成的塔，游戏的目的是将左边A杆上的圆盘借助最右边的C杆，全部移动到中间的B杆上，条件是一次仅能移动一个盘，且不允许大盘放在小盘上面，问最少需要移动多少次。

• 解法描述：我们可知限制条件为：一次只能移动一个盘，且不允许大盘放在小盘上面。解法为：首先我们设要解决的汉诺塔有n个圆盘，对A杆上的全部n个圆盘从小到大顺序编号，最小的为1号，依次递增，最大的圆盘编号为n。

  • 第一步：假设此时A杆上只有一个圆盘，即汉诺塔只有一层，那么将其移动到B杆上即可。

  • 第二步：对于有n(n>1)个圆盘的汉诺塔，将n个圆盘分为两个部分，上面n-1个圆盘为一个部分，下面编号为n的一个圆盘为另一部分。

  • 第三步：将“上面n-1个圆盘“看成一个整体，为了解决这n个圆盘的汉诺塔可以进行下列操作：

    • 将A杆上的n-1个圆盘借助B杆移到C杆上，此时设C杆上有n个盘子（n = n - 1）；
    • 将A杆上剩下的编号为n的盘子移动到B杆上；
    • 将C杆上的n-1个盘子借助A杆移到B杆上；
    • 在将n-1个圆盘从C杆上移动到B杆上和原问题具有具有相同的特征属性，只是问题的规模小于原问题，故我们可以使用递归的方法来求解。

• 下面就以四个盘子为例，来解释盘子的移动过程：

  • 初始状态的汉罗塔：
    
  • 第一次借助B杆将A杆上的n-1个盘子移动到C杆上并把A杆上的最后一个盘子移动打B杆上后的结果（中途的移动步骤没有体现出来，需要自己下去推导，这里就给出了每次移动后的最终结果）：
    
  • 再借助B杆将C杆上的n-1个盘子移动到A杆并将C杆上的最后一个盘子移动到B杆上后的结果：
    
  • 递归对A杆、B杆和C杆上的盘子的移动操作直至最后一个盘子移动到B杆上结束；
    
  • 最后的结果：
    

  编程实现：

#include<iostream>
using namespace std;
void Hanoi(int n, char a, char b, char c, int &count)
{
	if(n == 1)
     	{
      		count++;//移动A杆上的最后一个盘子到B杆
    	}
     	else
	{
   	  	Hanoi(n - 1, a, b ,c, count);            //A 杆借助B杆移动n-1个盘子到C杆
    		count++;                                 //移动A杆上的最后一个盘子到B杆
    		Hanoi(n - 1, c, b ,a, count);           //C杆借助B杆将n-1个盘子移动到A杆
   	}
}
 int main()
{
     	int count,n;
     	cout << "please input the count:";
     	cin >> n;
     	count = 0;
     	Hanoi(n, 'A', 'B', 'C', count);
     	cout << "total = " << count << endl;
     	return 0；
}

• 测试结果：