递归法解汉诺塔问题

汉诺塔简介

  法国数学家爱德华·卢卡斯曾编写过一个印度的古老传说：在世界中心贝拿勒斯的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔(Tower of Hanoi)。不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。
  我们假设金片的数量为n，移动的次数为f(n)，不难发现f(k+1)=2f(k)+1，也不难证明出f(n)=2ⁿ-1。也就是说，移动64片金片至少需要(2⁶⁴-1)次，也就是18,446,744,073,709,551,615‬次。假设每秒钟移动一个圆盘，不考虑闰年，移动这些金片也需要584,942,417,355年。要知道，地球的年龄是45.5亿年……

递归法解汉诺塔问题

  以上所说的属于数学范畴，在此不再赘述。我们要讲的重点是用代码来解决汉诺塔问题。这里我采用了递归的思想。递归并不一定是最好的方法，但就我而言，递归是最容易想到也是最容易理解的方法。
  我们设汉诺塔的三根柱子从左到右分别为A，B，C，在A柱上有n个圆盘（PS：还是叫圆盘好听些，叫金片总是感觉有些不习惯……）。由于汉诺塔只能把小圆盘放在大圆盘上，想要把A柱的所有圆盘都移动到C柱，必须把最大圆盘上面的全部圆盘都移动到B柱，然后才可以把最大的圆盘移动到C柱。我们可以总结步骤如下：
  第一步：把(n-1)个圆盘都从A柱移动到B柱；
  第二步：把最大的圆盘从A柱移动到C柱；
  第三步：把(n-1)个圆盘都从B柱移动到C柱。
  特别地，当n=1时，只需将圆盘从A柱移动到C柱即可。
  Python代码实现如下：

def hanoi(n, a, b, c):
    if n == 1:
        print(a, '->', c)
        return
    hanoi(n - 1, a, c, b)
    hanoi(1, a, b, c)		# 这里也可以写成print(a, '->', c)
    hanoi(n - 1, b, a, c)


num = int(input('请输入圆盘数量：'))
print('移动方法如下：')
hanoi(num, 'A', 'B', 'C')

  取圆盘数量为4，得到输出结果如下：

请输入圆盘数量：4
移动方法如下：
A -> B
A -> C
B -> C
A -> B
C -> A
C -> B
A -> B
A -> C
B -> C
B -> A
C -> A
B -> C
A -> B
A -> C
B -> C