第一部分、首先明白傅里叶变换到底是干嘛的？看了很多资料还是头晕脑胀的？

知乎上面有一个火爆的帖子是关于如何理解傅里叶变换的？

https://www.zhihu.com/question/19714540

由于不支持转载复制，（我当然有办法去复制下载啦），由于内容很长很精彩，建议各位复制到word里面，然后把word转成pdf的格式,然后用福晰阅读器打开，可以在线朗读，大家听故事，品人生，品玩也就知道傅里叶变换是什么了！

火爆到此人销户的帖子内容如下：

温馨提示：为防止大家被我带跑偏，希望大家注意看每一节的标题。我已经加粗了字体。在接下来的文字中，我会尝试把一个数学题当作小说来写，全文更多的侧重于一个人的碎碎念，质量没办法保障。此帖不开车，敬回忆。

回忆是个好东西，它在岁月消失后永久封存在内心深处，虽然永远无法再度还原过去的生活，但它永远提醒我们：在过往的岁月，我们曾经拥有过一段怎样的经历。我试图用一种心平气和的方式将我和阿花之间为数不多的回忆以一种虔诚的姿态记录下来，我始终相信，文字是有力量的，它能够将抽象的遥远的回忆用一种更为直观的方式呈现，并且可以根据自己的喜好对过去的情节加以演绎甚至篡改，用一种偷梁换柱掩耳盗铃的方式来满足自我内心的空虚与遗憾，哪有什么真相，骗得过自己，就是真相。本帖预计一万字，更新比较佛系。

PART1:生活中的傅立叶变换

  十年前，我读高中。未满十八岁，认识了一帮不正经的同学。在那间容纳着五十多个躁动灵魂的教室，我坐倒数第二排靠近后门的位置。上过中学的都知道，班上最闹腾的几个学生基本都分布在这一带。中学生的闹腾包含但不限于起哄和讲黄段子。我后座叫五角星，是班上看书最多的男生，整日满嘴的四书五经，满嘴的杜拉斯、卡夫卡，当然，也满嘴的荤段子。课间，楼道里一副热闹景象，几个男生拿着着篮球练习垫步，模仿麦蒂的投篮技术，偶尔有熟悉的女孩子经过，还会佯装扔球砸一下，然后等待女孩子充满仇恨的白眼。我和两三个同学一起懒洋洋趴在栏杆上晒太阳，一边看着楼下嬉笑打闹的学生，一边享受着被阳光包裹的安全感。那是初春时节，北方的天空湛蓝而澄澈，阳光灿烂而温暖。这时候五角星跳起来趴我们身上，被我们嫌弃地挤开，他开口道：我给你们讲个段子吧。故事是这样的，话说有一大户人家的小姐，非常漂亮，有多漂亮呢？用古话说是“手如柔荑，肤如凝脂，颈如蝤蛴，齿如瓠犀，螓首娥眉，巧笑倩兮，美目盼兮。”当然，用现在的大白话说就是“肤白貌美大长腿，D胸翘臀水蛇腰，人见人爱、花见花开鬼见鬼痴呆。”此等美女子到了适婚年龄后，她父亲在门前张贴了一告示，大概意思是说吾家有女，尚未婚配，欲寻得如意郎君花前月下，携手相伴此生。告示一贴出，门口前来求见的适龄青年络绎不绝，皆聚于庭院之中，府中丫头数了数，足足有一百位公子。小姐静坐闺房，心中不免犯愁，这么多男的，逐个相处选择貌似不可行，但又不想放弃任何一个潜在的优质男性。她思索良久，心生一计。姑娘让丫头召集了这一百个男青年，然后吩咐丫鬟传话下去：“我家小姐说了，不求男子形比沈约，貌胜潘安，但求誓无二志、情比金坚。”言外之意就是，帅不帅不重要，对感情认真才是最重要的。语毕，有36个人热烈鼓掌，拍手大好。然后，丫鬟就让人把这36个男的赶出去了。随后，丫鬟进屋禀报小姐：小姐，已经按照您说的，把这36个“丑逼”赶出去了。（信这种鬼话的都是丑逼，所以才拍手叫好，而真正的帅哥却因为自己的外貌优势没有发挥出来，所以没鼓掌）然后姑娘又吩咐丫鬟说下一句：“不喜男子良田万亩、豪宅数间。但爱勤奋努力、鸿业远图。”剩下这64个男的中，有25个鼓掌，鼓完掌还竖起一只大拇指似乎想点个赞。丫鬟把这25个也赶出去了，禀报小姐说：已经按照您的吩咐把这25个“穷逼”赶出去了。小姐又吩咐丫鬟说下一句：“不喜男子屌长似驴，但求一倒一颠眠不得，鸡声唱破五更秋”。（大不大不重要，技术才重要）剩下这39个人中，有29个鼓掌说，我也这么认为。于是，这29个“短小”的男的也被清理出去。事毕，丫鬟进屋去问小姐，剩下的10个怎么办，小姐媚眼流转，面若桃花，一脸娇羞，轻启朱唇，道： ‘’快把那10个“财大器粗的帅哥”给我请进来。” 经过这番操作，报名的那100个男的，变成了：36个丑逼+25个穷逼+29个短小+10个器大多金的帅哥。一目了然。看完这个故事，我们几个的脸上都泛起了淫荡不堪的笑，在阳光下，贱兮兮的。我们纷纷佩服五角星有才，也不由得为小姐的机智所折服。我后来就在想，这个段子真的特别妙，可以说是蕴含着深刻的生活智慧以及人生哲理，就这套逻辑，当年大贪官和珅也用过，话说当年饥荒，朝廷命和珅发放赈灾粮款。只要一发吃的，方圆数十里的灾民蜂拥而至，仅有的赈灾粮禁不住哄抢，很快就完，但沿路依旧饿殍满地。这部分抢粥喝的人当中，有些是真的要饿死了，而有些仅仅是想占便宜。于是和珅想了一个办法，把米换成平时喂猪用的糠，而且还在里面撒沙子，这样一来，哪些捡便宜的村民嘴叼，就不去抢这类吃的。而那些真正要饿死的人，才不管有没有沙子，总比观音土和树皮好吃。依旧上去哄抢。经过这番操作，抢吃的村民变成了：一部分真正需要粮食的+单纯想捡便宜的。高中时代听过的这段子似乎使我窥探到了生活真理。我时常在想，我又帅又有才华，知乎上私信排队跟我表白的人多的可以排满中关村大街，可能还要在三环上拐个弯。这帮私信搭讪的人涵盖了各个年龄阶层，有离异少妇、有都市白领、还有纯情学生。这些人怀揣着各种各样的目的，有想让我教她数学的，有想给我生猴子的，还有插科打诨的，比如：

假如，我要在我主页签名上加一句“非单身”，表白的人会变得很少。如果仍有表白的，那就只能说明对方爱我爱的死去活来、礼崩乐坏，宁可拆墙角也要表白，挣脱束缚，跨越世俗，这是一番怎样的爱啊。经过这番操作，我能把这帮人变成：非真爱的+真爱的。多年之后，上了大学，我才知道，当年那个百无聊赖的课间所探讨的人生哲理，用数学语言来描述就是“傅立叶变换+滤波”。至此，可以放一个初步的结论：傅立叶变换就是面对一团杂乱的信息，为了挑选方便，将其分类排列好。就像下图这样。

滤波就是把你不想要的部分剔除

傅立叶变换以上，从我们的生活经验出发，总结出来一个道理：用接地气的生活语言形容这个道理就是：面对一团乱哄哄的东西的时候，可以通过某种操作，来将这团乱哄哄的东西分类，分类完毕后，再选择出自己需要的。第一部分完结，从生活经验出发，十分不严格地讲述了傅立叶变换的思想。当然，傅立叶分析、傅立叶变换、傅立叶级数是三个不同的概念，这是后话。此外，上文的几个例子也不严谨，接下来说一个严格的傅里叶变换的例子。

PART 2:物理中的傅立叶分析

十年前，我读高中。未满十八岁，暗恋一个姑娘。高中时代的大课间都会跑操，操场在东，主席台在西，操场周围有一圈高大的白杨树。常年生病旷课的体育老师站在主席台上以吓唬畜牲的口吻命令我们迅速排好队伍。每个班级队伍前都有一个举班旗的旗手，表情坚毅庄重，一般由班上的品学兼优的学生干部从事这项光荣伟大的工作。她就是隔壁班的棋手。留着齐肩的头发，一半头发扎起来在头顶挽成了一个小丸子，与朱茵有几分神似，很瘦很干净，穿一件一尘不染的纯白衣服，站在阳光下发出刺眼的光。那天，对她的偷瞄一直持续到跑操结束，我把自己幻想成一个诗人，能够吟唱出两句摆得上台面的句子来满足自我内心的虚荣，未果。“娴静犹如花照水，行动好比风拂柳。眼前分明外来客，心底恰似旧时友”，嗯，没有那句比这句更加符合我此刻的心境。从那天起，我开始正式暗恋她。朴记告诉我说我暗恋的那姑娘叫阿花，是他的小学同学。朴记是我们班上一朝鲜族同学，姓朴，每天跟我们分享各种一手校园八卦以及NBA赛事资讯，我们亲切的称他为朴记者，简称朴记。朴记告诉我这条重要线索的时候，两手扶着栏杆，所有所思地望着远方，嘴微微张着，两唇之间残留的口水拉出一条透明的丝，在阳光下，由于薄膜干涉发出彩色的光。高中的时光，忙碌而轻松。午后的阳光总是那么刺眼，讲台上的语文老师讲课总是很催眠，她说有一种夸张的修辞手法，是通过超前想象来实现的，比如这句“农民伯伯看到绿油油的麦苗，仿佛闻到了白馒头的香味”，我觉得好无聊，就这种修辞句式，我能不带重样的写一本，比如，“我看到漂亮的阿花，有一种当爸爸的喜悦”。那时候的我，思维敏捷、下流至极。高中前两年，时间粘稠的像一杯浆糊，我们每个人内心充满着躁动与不安，在浆糊里窒息似的挣扎。她每次从她们教室前门出来，经过我们教室后门，我能通过那阵香风的味道判断出是不是阿花。到现在我都记得那个味道，那是一种混合了洗面奶、保湿水、洗发水、洗衣液以及她身体的独特味道。马上高三了，我趴在桌子上又一次睡了一个彻午，午休结束的铃声响起，我艰难的从课桌上爬起来，坐在座位上回魂，心中一阵罪恶感油然而生。后座的五角星跟别人说“少不看水浒老不看三国男不看西游女不看红楼，终身不看金瓶梅”，那是我第一次听说金瓶梅的存在。我感觉眼前的世界一点点趋于真实，慢慢从混沌中一点点清醒，上课铃响后，我转过去问他，为什么终生不看金瓶梅，他告诉我，金瓶梅是一本黄书。之后，物理老师提着拖鞋睡眼惺忪的进屋了。物理老师是个不拘小节的人，这一点从他的发型和穿搭便可以知道。如果观察其他地方，总会有不同的收获，比如今天，他牙齿上有一个韭菜叶。那节课的讲的是光的色散，光通过三菱镜之后发生色散。我从来没有预习的习惯。第一次看到如此直观的感受到：光因为频率不同，而在三菱镜中走向了不同的路径。学过高中物理的人对下面这幅图应该很熟悉。学名叫光的色散。这也是解释彩虹形成的原理。

物理老师告诉我们：我们平时看到的自然光是没有任何颜色的，俗称白光，里面包含了各种颜色的光——红橙黄绿蓝靛紫，以及人类无法识别出颜色的光。光能呈现不同颜色，本质原因在于其频率不同。我们平时看到的自然光是包含了各种频率的光线的混合体。如果让这束白光通过一个三棱镜，由于不同频率的光具有不同的折射率，导致它们穿过这个三棱镜之后，走向了不同的方向。利用这个原理，就可以把白光中不同频率的光分离出来，并且按照频率的大小关系依次排开。杂乱的白光=红光+橙光+黄光+绿光+蓝光+靛光+紫光+其他看不见的光。三棱镜对于白光来说，相当于做了一个傅里叶变换。

比较上图与上一节第一张图会发现，这些图都在表达相同的道理：即，一团杂乱的东西=具有a特征的A+具有b特征的B+……

当然，那个时候的还并不明白什么是傅里叶变换，我只是隐约觉得这个世界的奇妙深不可测。白光融合了所有频率的光，经过三棱镜最终走向了不同的道路。那么人是否也会拥有各自的频率，或者说拥有一种类似于频率的属性呢？就像此刻我们虽然坐在同一间教室上课，但是以后会遇到一些事情，导致我们就会走向不同的人生道路。我为自己不小心开的脑洞而感到罪恶。快高考了，还有心思瞎想，还想不想跟阿花一起了。我心底那个积极的小人又出来鞭策我了。而就在此时，我发现这件事情细思恐极。如果我高考没考好，岂不是就不能和阿花在同一个城市了？这算不算“走向了不同的路径”？高考是个分水岭，那他是不是就相当于一个三棱镜？虽然我们此刻纠缠在同一个学校，将来会出现很多个三棱镜最终会把我们引到不同的人生道路上。那么，人是不是有频率的？伴随着我一不小心打开的脑洞，下课铃响了，我发现物理老师大门牙上沾的那片韭菜叶子不见了，第一排同学脑门上多了一片韭菜叶子，同物理老师牙齿上沾的那片大小一致，形状相同，在阳光下亮晶晶绿油油。  （本段致敬冯唐）   总结：傅里叶变换其实就是把一团杂乱的东西，按照频率的不同依次分组。第二部分完结，通过物理的例子直观理解傅立叶变换。后记：高中毕业五周年，我们两个兄弟班一起组织聚餐。三杯两盏淡酒下肚，我微醺，且恍惚，我笑着跟阿花说，“妈的，我天生基因不好，脸上皮松，生下来就有褶子，显的又老又丑”。阿花说，怎么就丑了，男人老一点才有魅力，显得成熟。听到这句，甚感欣慰，我问阿花，你跟你厦门那个前任好了四年，为什么最后分了呀。阿花说 “因为他长的又老又丑” 随后，我用阿花的手机请别人帮我们拍了唯一一张合影。

PART3：为什么要进行傅立叶变换

十年的漫漫长夜和那些阳光灿烂的白昼过去之后，岁月只留下记忆供我缅怀过去，我感到自己的记忆只能点点滴滴的出现，而且转瞬即逝。当我意识到自己与青春的交集只剩下几幅过往画面的时候，我开始思考一个问题：为什么大多数人都喜欢回忆青春？我觉得，一切冠以青春的命题都脆弱不堪，我们回忆青春，除了它是一个鲜活的载体的可能，更多在于它的短暂，而非美好。我高中时代的青春，懵懂、慌乱以及迷茫参杂在一起，形成一种透骨的无力感，美好个jb。 6月3号，班主任老师宣布第二天放假，要为高考腾地方，并说了一句，再过几天，高三的学生高考完了，你们就是高三的了，回家抓紧时间学习。我的高中生涯似乎按了快进键，这让我措手不及。我觉得我必须要做点什么，为了我的暗恋。我很郑重的给她写了一封并没有任何表白信息的信，结尾附上我的qq号，随身带着，距离放假还有一节课的时候，阿花经过我的身边，我把信交给她。她先是愣了一下，然后看了看我，又低头把信收起来，匆忙跑开。回家后焦急等待，她当晚加了我扣扣。我们聊了两天，包括个人爱好、日常吐槽以及喜欢的大学，她说她想考人大，末了她约我开学后第一个周末去旱冰场。旱冰场喧嚣不堪，放的是跳楼大甩卖专属背景音乐《Golden Sky》。阿花滑旱冰的技术特别好，能正着滑、倒着滑，转圈滑。她说，我教你滑旱冰吧你个笨蛋，我说我可能太笨了，她说聪明的我不教啊你个笨蛋。随后，她扶着我的胳膊，手把手教我。我看到她的发丝细而软，脸蛋白里透红，脖子上隐约可见青色的毛细血管…… 稍微熟练后，她拉着我的手滑。我感觉她的手像脱骨鸡爪，软而绵，而我整个手臂，就像过电一样。那天我终究是没学会，我靠在围栏上远远望着她一起一伏的身影，像一朵花，还有，胸前春桃初胀。我感到一种无力感，我喜欢美丽的姑娘，我喜欢牛逼哄哄，我喜欢飞黄腾达，但我一无所有，只剩一种无法驾驭美好的无力感。那年的那个下午的我，永远也不会知道，在接下来的十年里，我拼命努力试图去消除掉的无力感，只会越来越强烈。阿花在远处冲我喊了一句话，那句话淹没在喧嚣之中，我没听清。那天，阿花到底对我说了什么。似乎永远无法知晓。回学校后，我疯狂做题，当我做到光的色散的物理题的时候，我又想到阿花说的那句淹没在嘈杂声中的话。我在想，世间是否有一种设备能够将杂糅在一起的声波按照频率将其剥离开，就像利用一个三棱镜能够把光分离一样。声音也是波，光也是波，二者之间是否会有一个相同的机制。下课后，我去了物理老师办公室，他喝茶。我问他，老师，是不是只有我们学到的光能够发生色散，其他频率的波是否也会存在色散？物理老师喝完一口茶，用手把不小心喝进嘴里的茶叶拿出来重新扔回杯子里，用一口浓重的保定方言说道“zhei个问题，问滴挺好，上喽大学就明白lia，你说滴这个叫傅里叶变换”。之后他拿出纸笔，开始给我演示。他告诉我说，色散这种效应跟波的频率没关系，波都存在这种色散。以前学习电磁场的时候选讲了调频广播的内容。各个电台发射各个频率的电波，比如fm103.1啊fm90.5啊，这个数字就是频率，这些频率在空中混在一起，彼此纠缠。手中的收音机其实是能听到各个频率的声音，但是每个台都听不清楚。你调整你收音机的这个动作叫调频，就是调整接收频率的意思。把其他频率的声音过滤掉。只听你想要的频率。然后他给我画了一张图。大概就是这个意思。

四个电台同时发送不同频率的波，彼此相互纠缠，变成“一团乱麻”。这团乱麻似的东西相互叠加，传到收音机之后，变成了四段波的矢量和。如下图。

如果将上面的信息直接播放，将会什么都听不见，为了听清楚，收音机要做的事情就是从上面叠加之后的声波中挑选出特定频率的声音。为了达到这个目的，需要做一个傅立叶变换。上文提到，傅立叶变换就是把一团乱糟糟的东西给按照频率排开。显然，上面那团叠加之后的声波，按照频率排开应该是下图把上面的图画在一起，应该是下图：

想收听特定的电台，只需要调旋钮，选接收特定频率即可。这样，就能从那团乱麻之中挑选出某一段特定频率的声音了。我接着问他，你刚才说的是超声波，那有没有一种东西，能够直接把普通的声波进行加工和挑选。比如，在闹市中，只听某个人的声音，他说，理论上应该有，和收音机原理一样，但是好不好用就不知道了，可以试试录音笔。之后我又问他，那您刚说的傅立叶变换是什么。他点燃一支烟，说，你在这个自然界中所感受到的任何信息，都是在时间坐标下的感受。比如，我们两个之间的对话，说白了就是声波。声波是什么样子的呢？横坐标是时间。这就叫时域，意思是这个区域是按照时间的不同来排列的。而每个人声音的不同是频率不同，横坐标是频率。这叫做频域，意思是这个区域里的东西，是按照频率的不同来排列的。把同一件事从时域换到频域，就是傅立叶变换。把频域换到时域，就是傅立叶逆变换。

讲完这些，物理老师问我听完这些有没有什么想说的。我有些蒙，嘴角抽动了几下，说“老师，您今天穿的袜子不是一对”。那天，从物理老师办公室走出来，屋外的阳光依旧明媚刺眼，路旁的白杨树被风吹动发出呲啦啦的声音。我似乎并没有一种解决问题之后的满足感，取而代之的是一种再也无法搞清楚阿花那天到底说了什么的空虚与遗憾。距离那天已经过去十多年，回首往事有时就像是翻阅陈旧的日历，昔日曾经出现过的欢乐和痛苦的时光成为了同样的颜色，在泛黄的纸上字迹都是一样的暗淡，使人难以区分。这似乎就是人生之路，经历总是比回忆鲜明有力。而回忆却比经历更加持久。说回到傅立叶变换。由于我们时时刻刻都在接收着世间万物所传递出来的信息，这些信息都是放在一个横坐标为世间的坐标系当中，很多信息柔和在一起，相互叠加，形成一团乱麻，乱糟糟的。你无法分辨。为了选取自己想要的信息，需要把他们按照频率排列开。你选择自己想要的即可。现在再进一步严格化傅里叶变换的概念：傅里叶变换，就是把时域里的一团乱糟糟的信息，按照频率的不同依次排列好。傅立叶变换前后，信息本质不会改变。小结：阐述了为什么要进行傅里叶变换。即：从一团乱麻中挑选出自己最想要的东西。后记：旱冰场之约过后，我开始疯狂学习。五角星觉得我是被应试教育迫害了，一直试图把我从苦海中剥离出来。他以笔杆子为武器，以我为原型，写了一篇名叫《纯灰年代》的小说，以幽默诙谐的风格描写了一个高中生在一个高考大省、面对高考压力、出现一种疯狂刷题的病态。后来，他去上海参加新概念作文大赛，拿了个奖，一战成名。后来变成杂志《萌芽》的常客。把《纯灰年代》发表了。该文与本文故事有出入的情节，请以本文为准，特此声明。

PART 4:如何进行傅立叶变换

十年前，我读高中，差两个星期满十八岁。当时班里没有人拥有手机这么高级的设备，土豪东哥除外。东哥的手机块头很大，来电话时周围还有一圈跑马灯闪烁，炫酷的很。手机里存了黄片，想借来看的话，午休时间5块，熄灯后10块。东哥的生意逐渐拓展到整栋宿舍楼，来找他租手机的络绎不绝，形形色色，有的光着膀子直接吼“东哥，快，我要租手机，我要看片！别拦着”，我看到他胸前的两坨肥肉也随着上下抖动，想笑不敢笑，怕挨揍。有的顾客很斯文，客气得小声询问“请问你是东哥吗？那个……我……”有趣的很。后来东哥跟我说过，他真的是发自内心的为同学服务，青春期的少年看黄片，就像春天里一颗小草的生长一样自然，没有什么目的。风起时一匹公马发情一样天经地义，也没有什么目的。草长马发情，绝非表演给什么人看的，这就是事实本身。（本段致敬王小波）关于5块、10块的价格，也是经过深思熟虑的，且不说物价水平、风险系数，万一把价格定低了，戕害了我们祖国的栋梁罪过可就大了。后来，东哥去天津上大学，把这套服务广大学子的赤诚之心也带了过去，创办了一个叫涉川教育的公司，被河工大学子戏称为射穿教育。我们没有手机，但几乎人人都有一个本子，写一些公开的随笔，写完赶紧拿给别人看，别人就会在文章的各个角落里添加评论，笑点十足。那时候的我们，已经有了自溢的表达欲，用老师教给我们的知识骂老师、骂社会。这应该是纸质版的博客吧。在距离我十八岁生日还有两个星期的时候，五角星开始不断游说我要过一次别开生面的生日。理由是十八岁是一个标杆，一定要有仪式感。给自己一个交代。只不过，当时我满脑子都是高考失败配不上阿花的想法，就以距离高考还有三个月为由拒绝了。为这件事他很鄙视我。他认为我成功的被培养成了高考机器。我生日那天，他随手从花坛里拔了一棵草，说，这草你收着，生日礼物。也算是很有仪式感了。你想啊，一百年以后，你都118岁了，我不希望你那时候对于18岁生日这天的记忆一无所有。确实，我十八岁生日那天做了哪些题，说了哪些话我全都忘了，记住的只有他送我一棵草。五角星曾经扬言，一个月后，他的十八岁生日一定要轰轰烈烈。结果那天三模考试，他的计划泡汤。晚自习的时候，他戳戳我，说，我写了一首18行的减字诗，纪念自己的十八岁，给你看看。我说，我一听减字诗我就不想看，牛逼的诗词一定犹如《将进酒》犹如《蜀道难》，充满自由，保持文字节奏的同时还能放荡不羁、信笔开河。而非像《雨霖铃》《江城子》那样直接在模版里填词。伟大的感情岂能在特定的字数规定下酣畅淋漓地表达？这跟八股文有什么区别？然而，看完后，我还是很震撼。那首诗是这样的：习惯那些花儿开了谢了堆砌成冗长的笑意细数着日出日落却再找不回丢失的结局我种下十八个四季收获十八年的沉泣把时间一段段摔碎在光与影的罅隙谁让谁的归途成为不能说的秘密爱与恨写进一本会遗忘的日记笔尖氤氲着年华淌过的水迹记忆烘不干没有你的天气曾经的感动铺满了心底疯长了十八年的情绪  倾泻成华丽的葬礼来吧来吧来下雨湿透所有别离前行路刻下你的笑语会有爱还有你以现在的眼光来看，充满了浓浓的非主流葬爱风格。当时我一口气读了好几遍，然后问他，这诗有名字了吗？ “还没有，你有什么愚见？” 我觉得小学生的作文里对于感情的抒发永远都类似于天总是蓝的，水总是清的，红领巾是国旗的一角、永远都是鲜艳的，所以小学生永远都像小鸟一样快乐。而我们处于青春期，青春文学作品必须得疼痛，必须得呻吟，越深沉越显得牛逼。想到这些，我说“不如叫《骊歌轻唱，忍把十八载年华埋葬》” 行文至此，驻笔片刻，感慨良多。在那苦闷的高三生活中，我们班里的人仍然能够在百忙中抽出时间来写写文艺（作品再烂也是文艺），看看文艺，并以之为乐，实属难得。正如阿城在《棋王》里想要表达的那样，艺术永远都可以供我们在任何环境任何年代里尽情陶醉、尽情挥霍。（本段致敬阿城）过了没多久，高考来了。阿花考的怎么样，我无从得知。我在家收麦子。坐在田间地头上的树荫下望着远处的机器在金黄的麦田里轰隆隆收割。鼻腔里充斥着麦子被太阳炙烤后发出的干烫味。我想，语文老师骗人，别说绿油油的麦苗了，我就算看到金灿灿的麦田，我都没有闻到白馒头的香味。这时候，我收到阿花发来的一串长长的短信，她在短信里说她考砸了，准备复读，还有，谢谢我这段时间以来的陪伴，但是希望我忘了她，她有男朋友，只不过初中毕业就去当兵了，她还在等她，并对此事表示抱歉。就这样，我十八岁的初恋，还没有表白就已经结束了。我为了给自己找台阶下，回复她说：“我毕竟没有找你表白，不用抱歉，我祝福你们”。之后我去地里扛麻袋背麦子，夕阳西下，放眼望去天地间是一望无垠的金黄，红色的落日把我的身体印的通红，我心里想的是“阿花啊阿花，早知道你是这种选手，我做题就不那么努力了”。上了大学，自然会学到傅立叶变换，我还记得我与傅里叶变换结缘是因为阿花，傅立叶变换与阿花之间有脱不开的干系。大学一年级的我，还与阿花保持着一周两次通话的习惯，当然，这是后话。在大一下学期，我以一种虔诚的心态学习傅立叶变换。傅立叶发明傅立叶变换的事情是这样的：傅立叶公爵当年是搞传热学的，有一天他需要解一个非稳态偏微分方程，然而卡住了。这里多嘴解释一下。普通方程就是求解未知数。微分方程就是通过某个函数的微分来求解原函数。偏微分方程就是这个函数不只一个自变量。非稳态偏微分方程就是说这个函数的其中一个自变量是时间t。由此可知，傅立叶老爷子当年要求解的函数这个非常复杂，比下图要复杂的多。

导致他利用现有的数学知识无法解决。但是，傅立叶老爷子具有超凡的物理直觉。他从物理角度上分析这个问题：他认为，此函数之所以如此复杂，是因为在实际的传热过程中，有很多个传热效应掺杂在一起。这多种传热效应组合、形成一团乱麻，使他无法求解。既然如此，那如果把这些传热效应依次分离开，处理起来是否会简单呢？就好比当年，我听不清阿花的声音，是因为旱冰场有各种各样嘈杂的声音掺杂在一起，形成一团乱麻，传入我耳中的声波变成了一个极其复杂的存在，我无法分辨。如果把这些声各自分离开，我就更容易分辨清楚每种声音。傅立叶开始逐一思考各个传热效应。最后他发现，对于每一种传热效应，竟然都是一个很简单的正弦波，仅仅四个简单的正弦波相互叠加，就能够生成一个看起来极其复杂的函数。比如，上图中的函数，看起来完全没有任何规律可言，可以说相当复杂了，但实际上，上图中的函数，其实仅仅是四个正弦波叠加而来的，如下图。

上面四个正弦波具有不同的频率，为了处理方便，我们可以把上面四个正弦波按照频率依次排开。就变成下图这样：

还是前面那句话，好多东西组合在一起，会形成一团乱麻，为了方便处理，可以将每个东西按照频率大小依次排列开。好了，以上脑回路是我编的。接下来就是傅立叶老爷子的真事了。补充一个常识，任何几个周期函数相互叠加，组成的新函数肯定也是一个周期函数。（没记错的话应该是高中知识？）傅立叶认为，上面我举的例子比较简单，而且比较巧合。假如有一个复杂的函数，而且这个函数并不是像传热学问题或者声学问题那样，由几个效应共同组成，而是由于函数本身真的特别复杂，这种时候还能不能继续利用上述思路简化。他极其大胆的认为：可以。他的理由是这样的：假如有一个函数，并不是由于几个正弦波简单叠加，那么，完全可以仿造一个新函数，新函数的曲线与想求的函数曲线一模一样，而这个仿造出来的新函数是由几个正弦波叠加过来的。这样，我就可以把新函数中、各个正弦波按照频率依次排开，利用上述思路处理后即可求得新函数，新函数与原函数一样。傅里叶这个想法有两个明显的问题：一个问题是：你怎么可以如此大胆地认为，任何一个函数都可以用正弦波叠加就能仿造呢？所以，拉格朗日认为傅立叶是瞎扯，他说：你把下面这个矩形波函数用正弦波叠加仿造出来，能仿造出来算我输。

在那个没有电脑的年代，拉格朗日说的不无道理。因为从定性上讲，正弦波属于光滑的、没有棱角的函数。而上述矩形波函数有棱角。肯定无法匹配。另一个问题就是：我们可以预想到，假如傅里叶真的拿一系列正弦波叠加去仿造与原函数一模一样的新函数的话，为了保证精度，他肯定需要无限个正弦波，这就意味着，这些正弦波拥有无限个频率，有频率为1的，有频率为1.1的，有频率为1.11的……无穷匮也。换一种说法就是，把无数个正弦波按照频率依次排开（频域图像），应该是一个连续的函数，不再像上面画的频域图像那样，是一个个离散的频率。

第一个式子叫  傅里叶级数  ，第二个式子叫  傅里叶变换  ，傅里叶级数和傅里叶变换统称为  傅里叶分析  。基本思路有了，现在的问题是：如何写出无限个正弦波叠加呢？下节欧拉公式。小结：阐述了傅立叶发明傅立叶变换的思路，他认为，任何一个函数，我都可以用很多个正弦波叠加的方式仿造一个一模一样的函数。仿造出来之后，再把这么多正弦波按照频率依次排开。后记：阿花让我放弃她、并坦白她有男朋友的当天晚上，跟我诉说了她男朋友的故事：她男朋友叫舒农，家住香椿树街，生活在一个没有关爱的家庭，品行不端的父亲对他疏于管教，使他成为一个标准的带有严重自卑感的“问题少年”，为了扬眉吐气、受孩子们尊敬，终日打架斗狠，似乎这才是这个年龄的孩子获得认同感的唯一方式。故事如果按照这个方向继续发展下去，他要么被人打残，要么进少管所，所幸，阿花的出现改变了他整个的人生轨迹。后来，在阿花的劝说下，舒农去当了兵，成了一个干净阳光的男子汉。

   PART 5:欧拉公式

十年前，我高中毕业，已满十八岁。那年暑假去学校领通知书，彼时学校的复读班已经开学，我知道阿花就坐在某间教室里上课。上课时间，学校里出奇的安静，原来母校这么漂亮啊，甬道两旁铺天盖地的垂柳安静的悬挂，恰到好处的映衬着整个校园的肃穆。我沿着学校走了一圈又一圈，看了一场篮球，然后走出校门，来到那家熟悉的店面吃了一碗牛肉拉面。以前的周末下午，总会有两节课的闲暇时光，我和朴记、五角星他们也会打一场篮球，筋疲力尽之后会出门去吃一碗奢侈的牛肉拉面。今天，我一个人又把这些事按照顺序做了一遍，算是完成了我对高中母校的道别。学校南门外是开元寺塔，我坐在广场长椅上，盯着学校门口发呆，嗯，此时我还没有向阿花正式道别。后来，我找了一个“阿花太忙，不方便见我”的借口，决定不道别了。我点开她的qq空间，给她留言：人大不远，明年不远开往北京的火车只为有梦想的人晚点幸福不远，爱情不远明年六月，把酒狂欢 ……我掏钱留言完毕，返回主页的时候，我看到她的qq签名是“世界上最短的咒语是一个人的名字” 八月中旬，阿花联系我，她说她实在受不了复读班的变态生活，也实在没有勇气赌明年就能考上人大，所以，她放弃了，要去厦门读大学。也就在那段时间，她与舒农断了，qq签名也改成了“要到一个有海的城市去哭” 我与阿花又恢复了联系，我依旧没有表白，尽管她知道我喜欢她，尽管我也知道，她对舒农有太多不舍和无奈。读了大学，认识了一帮损友。读了大学，才知道原来城里的孩子都请家教补课。读了大学，才知道长途电话费这么贵。我买了一张IC电话卡，在那种电话亭30块钱能打500分钟，我与阿花每周通两次电话。我找了一个家教工作，准备攒够钱买一张飞机票去找阿花表白。每周六早晨五点半起床，坐一个多小时的公交车去小孩家里上课，晚上在他家吃完饭回学校。到学校已经九点了。一天能挣960。我第一次感觉，赚钱太容易了。如今，我天天为找工作焦虑，我才明白，结合物价水平，十年那个我，是时薪的最高峰。我比较爱热闹，带着暴发户的心态，每次拿了钱，都要请大家去外面吃一顿。所以，去找阿花的机票钱还没有攒够。有一天，龙哥给我发飞信：晚上去吃鱼？我回：下次吧，我这两天没钱了。龙哥回：钱呢？我：草泥马在我还没有攒够钱的时候，阿花在电话里跟我说，她要谈恋爱了。对方是班里同学，对她挺好的，人也长的挺好。再一次，那种深深的无力感吞噬了我。憋的我喘不过来气。最后，我没等阿花安慰完，我对她说 “再见！” 我打电话喊龙哥出去吃鱼、喝酒。龙哥陪我喝的断片，我背他回来。回来路上，我一边忍受深秋的寒冷，一边泣不成声。晚上，泪水打湿枕头，无力的悸痛感不断折磨我的心脏，借着酒意，我在纸上写下一封不会寄出去的信：我想把此生爱恨用黑色流淌在这个秋天最后一片落叶的背面寄给昨天让冗长的冬季来安葬对你的思念一句再见在你我之间插入了一千年的时间让我们再也看不到当初的容颜只是在纷扬落叶的那棵树下一个人，睁着眼想念我怕时间把冬日老树的枯枝折断从此再回到没有你的春天暗自想你却被眼泪看见从此便在孤单的夜里决堤漫延却再不能沾湿你曾用手写在我脸上的爱怜可是你曾像花儿一样笑了啊,只被我看见我说爱自说出口起就不会变我说错在当初我们曾经遇见说好的幸福是命运的签说好的爱你却再回不到从前从不敢奢求你在爱与友之间划清界限就像我们竟感受不到那是夏天世界结了霜来温暖谁那绝望的、用霜结成的眼一句再见的温度生生地让牵着的手断！断！断！生生地扭转了冬天与夏天可我还爱你呢却再不能让你听见就像在旱冰场的我不懂傅里叶变换感谢命运让我们拥有那段牵手滑过冰场的时间在回忆中一直，一直向前无数光年我尽量用写字的频率去揣测你心中回忆的线它将牵向哪里呀？它也在想我吗？我想用它们的契合来告诉你传说中永恒的牵挂一直,一直都在我的心间无论再见不再见第二天，我完全恢复了理智，就告诉她，没什么，我看开了。这样，我们依旧是朋友，只是，我们联系的频率，平均两个月一次，每次只聊几句毫无营养的客套话。再后来，阿花问我数学问题。她问我什么是欧拉公式。我说，欧拉公式就是她说她知道欧拉公式怎么写，关键问题在于，怎么理解。我说，记住就是了。她火了，说，“你是不是找抽，老娘现在快被这个折磨死了，当年我就只知道记住虚数的平方是负数，现在，开始又出现了这么个东西，我无法理解也就罢了，关键我怎么都想不通这等式怎么可能成立。” 我清了清嗓子，说，你还记得泰勒公式吗？话说在一百多年以前，还没有计算机、计算器，人们根本没办法快速计算三角函数、对数函数以及开方等。为了解决这个问题，泰勒提出了泰勒展开。后来佩亚诺、拉格朗日、柯西等人充分完善了这个工作，以前你学到的洛必达法则，罗尔定理、拉格朗日中值定理，以及现在卡住的欧拉公式，都是可以用泰勒展开的。综上，欧拉公式得证，欧拉公式就是这么来的，我告诉阿花，假如当年你学了泰勒公式，你也能发明欧拉公式。

后记：阿花最后跟厦门的这个男生分手了，她原话是这么说的：“我没有多少青春陪着一个人一穷二白”，本科毕业后迅速找了个有钱的男朋友，闪婚。高中毕业五周年聚餐上，我与阿花拍了唯一一张合影，当时，她已经戴上了结婚戒指。而那时候的我，衣品很差，全靠颜值死撑