对于解释3阶矩阵为什么只有三个自由度即三个自由向量，首先要从二阶正交矩阵只有一个自由度讲起
1、二阶正交矩阵自由度数量证明
根据正交性有,即：
矩阵R中共有ABCD四个元素，而有
、
、
三个等式约束，故在二阶下只有一个自由变量
2、三阶正交矩阵自由度证明
相信看到上面的二阶证明后，三阶大家已经知道为什么只有三个自由度了，同理由，可得
相乘的结果为一个单位矩阵，与二阶相同，三阶中只有上三角部分具有约束，对角线以下与对角线以上等式相同。
故三阶中共有9个变量，六个约束等式，可得有三个自由变量。
3、应用到m阶矩阵中
m阶矩阵共有个自由变量
