集训Day 2 2020.3.1 还是数论复习

上节课作业

1.酒桶移动

三分！
【此处期待题解】
复杂度\(O(n\log n)\)

2.POJ2142：The Balanc

有一天平和两种数量无限的砝码（重为\(a\)和\(b\)），天平左右都可以放砝码，称质量为\(c\) 的物品，要求：
放置的砝码数量尽量少；
当砝码数量相同时,总质量尽量小。

题解

本质不就是\(ax+by=c\)吗，然后求\(|x|+|y|\)最小且\(|ax|+|by|\)最小的可行解。
不难想到可能满足第一条的只有\(x\)正整数最小解和y正整数最小解这两种解，其中一个就是答案

3.POJ2115：C Looooops

for(i=A;i!=B;i+=C){i%=1<< k;}
问：会循环多少次（有可能死循环）

题解

和跳青蛙差不多设\(a=C\),\(b=2^k\),\(c=B-A\)则\(ax+by=c\)

素数和筛法

链接区：
数论
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Day1集训
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判定素数

int main(){
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=2;i<=n;i++){
        int ok=0;
        for(int j=2;j<sqrt(i);j++){
            if(i%j==0) ok=1;
        }
    }
    return 0;
}

埃氏筛

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 2 3 / 5 / 7 / 9 / 11 / 13 / 15 / 17 / 19 /
1 2 3 / 5 / 7 / / / 11 / 13 / / / 17 / 19 /(3)
1 2 3 / 5 / 7 / / / 11 / 13 / / / 17 / 19 /(5)
1 2 3 / 5 / 7 / / / 11 / 13 / / / 17 / 19 /(7)...

bool he[10000005]={0};
void Eratosthenes(int n){
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(he[i]) continue;
        for(int j=2;j*i<=n;j++) he[j*i]=1;
    }
}

例题讲解

1.POJ2689：Prime Distance

给不超过int的\(l,r\)，其中\(r-l+1 \le 10^6\)，筛出其中的素数，并且求出相邻素数差值最大和最小的一对。

题解

提示：区间内的合数的质因子一定有在50000以内的

证明：如果不存在一个小于50000的，由于一个数至少有两个质因数，则大于50000的前两个质数\(m,n\)的乘积\(mn>50000^2>\text {int}\)
筛出50000以内的素数，用它们来筛出[l,r]内的合数.
怎么筛是个问题，假设我们有一素数\(p\)（并且筛完了素数\(p\)以前所有素数的倍数），我们显然希望找到第一个在区间内的素数的倍数，然后用筛法筛区间内的合数即可。
显然\(p^2\)是一个没被筛过的合数，如果\(p^2<L\)，那么我们第一个筛的合数就应该是\((l+p- 1)/p*p\)（C++意义）.
如果\(l\le p^2 \le r\)，那么第一个筛的合数就是\(p^2\)，如果\(p^2>r\)那就不用筛了。
然后对第一个筛的合数不断+p直到超过\(r\)，然后这些合数全筛走，剩下的就是质数.
其余细节也有很多，很有必要一写。

2.POJ3421：X-factor Chains

构造一个数列，起始为\(1\)，终止为一给定数\(X\)，满足\(X_i < X_{i+1}\) 并且\(X_i | X_{i+1}\)。求出数列最大长度和该长度下的情况数。\((X<2^{20})\)

题解

将\(X\)分解质因数（假设有\(n\)个），要想最长显然它前面那个数是\(n-1\)个质因数相乘，那么再前面的那个数是\(n-1\)中\(n-2\)个质因数相乘……以此类推，长度就是\(n+1\)（题要求输出此数\(-1\)）
即：
\(F\)的质因数为\(f_i\)共\(n\)个，构造\(1,f_1,f_1f_2,f_1f_2f_3,...,X=\prod\limits_{i=1}^nf_i\)
方案数就是有重元素的排列了

3.CF449C：Jzzhu and Apples

https://www.luogu.com.cn/problem/CF449C

有数\(1\)~\(n\)，要求配对，每对最大公约数不能为\(1\)，求最大配对数。（\(n\le 10^5\)）

题解

贪心，显然有大素数因子的数难配对，于是从大到小枚举素数\(p\)，那么\(p,2p,3p\)…… 都可以两两配对（前提是这个数没被配过）
那么如果一共是偶数个的话我们显然可以全配了。
如果是奇数个肯定要扔掉一个数。把\(2p\)扔掉，然后这些扔掉的数到了\(p=2\)的时候就会自己互相配对啦。
不难发现我们最大化利用了每个数。

（第一遍的时候的错误思路）
筛到素数\(p\)，\(p\)之后的所有倍数的个数\(n\)，为偶数时情况数\(ans=\dfrac{n}{2}\)，奇数时把最后一个数留下，也许还有可能和别的配对，\(p\)从小到大遍历

下期预告：中国剩余定理

【此处留白】

课后练习

1.LGP2758 编辑距离

设A和B是两个字符串。我们要用最少的字符操作次数，将字符串A转换为字符串B。
这里所说的字符操作共有三种：
1、删除一个字符；
2、插入一个字符；
3、将一个字符改为另一个字符；
皆为小写字母

题解

【待补充】

2.JSK43511

https://nanti.jisuanke.com/t/43511

给两个由a~z和0~9组成的字符串，你可以对任意一个字符串做如下操作：

在一个地方插入一个字母
删除一个字母
删除一个数字\(k\)，然后在此处插入\(k\)个字母
问最少几步使得两个字符串相同且没有数字存在？
第一个字符串长10000，第二个长1000，数字最多100个

题解