第五篇--MATLAB符号运算

1.符号对象与符号表达式

1.1 建立符号对象

• 符号对象可以是符号常量、符号变量，符号表达式等等，它是一种数据结构。
• sym 函数用来建立单个符号变量，调用格式为：
• 符号变量 = sym(A) ，参数A是一个数或者数值矩阵，也可以是字符串。

a=sym('a') %a是符号变量
b=sym(1/3) %b是符号常量
c=sym('[1 ab;a d]') %C是符号矩阵

• syms 命令用来建立多个符号变量，一般调用格式为：
• syms 符号变量1 符号变量2 … 符号变量n

syms a b c

1.2 建立符号表达式

• 用sym 函数直接建立符号表达式。

 y=sym('sin(x)+cos(x)') 

• 使用已经定义的符号变量组成符号表达式。

 x=sym('x'); 
 y=sin(x)+cos(x) 

或者：

syms x; 
y=sin(x)+cos(x) 

2.符号对象基本运算

2.1 基本运算符

• 普通运算：+ - * \ / ^
• 数组运算：.* .\ ./ .^
• 矩阵转置：’ .’
• 示例：

X=sym('[x11,x12;x21,x22;x31,x32]');
Y=sym('[y11,y12,y13;y21,y22,y23]');
Z1=X*Y; Z2=X'.*Y; 
Z1=
[ x11*y11 + x12*y21, x11*y12 + x12*y22, x11*y13 + x12*y23]
[ x21*y11 + x22*y21, x21*y12 + x22*y22, x21*y13 + x22*y23]
[ x31*y11 + x32*y21, x31*y12 + x32*y22, x31*y13 + x32*y23]
Z2=
[ y11*conj(x11), y12*conj(x21), y13*conj(x31)]
[ y21*conj(x12), y22*conj(x22), y23*conj(x32)]

2.2 基本函数

• 三角函数：sin、cos、tan、cot、sec、csc、…
• 反三角函数：asin、acos、atan、acot、asec、acsc、…
• 指数函数：exp、log、log2、log10、sqrt
• 其他函数：abs、conj、real、imag
• rank、det、inv、eig、lu、qr、svd …

2.3 查找符号变量

• findsym(expr)： 按字母顺序列出符号表达式 expr 中的所有符号变量
• findsym(expr, N) ：按顺序列出 expr 中离 x 最近的 N 个符号变量 。

f=sym('2*w-3*y+z^2+5*a') 
findsym(f)
ans =
a,w,y,z 

2.4 符号表达式替换

• 用给定的数据替换符号表达式中的指定的符号变量
• subs(f,x,a) ：用 a 替换字符函数 f 中的字符变量 x ；a 是可以是 数/数值变量/表达式 或 字符变量/表达式 。

f=z^2 + 5*a + 2*w - 3*y 
f=subs(f,'z','z+2')
f=
(z+2)^2 + 5*a + 2*w - 3*y

2.5 符号矩阵

• 使用 sym 函数直接生成

A=sym('[1+x, sin(x); 5, exp(x)]') 

• 将数值矩阵转化成符号矩阵

 B=[2/3, sqrt(2); 5.2, log(3)]; 
 C=sym(B) 

• 符号矩阵中元素的引用和修改

 A=sym('[1+x, sin(x); 5, exp(x)]'); 
 A(1,2) % 引用 
 A(2,2)=sym('cos(x)') % 重新赋值 

3.常见符号运算

3.1 因式分解

• factor(f)：

syms x;
f=x^6+1;
factor(f)
ans =
 
[ x^2 + 1, x^4 - x^2 + 1]

• factor可以用于正整数的分解

3.2 函数展开

• 函数展开：expand(f)
• 多项式展开

syms x; 
f=(x+1)^6;
expand(f) 
ans =
 
x^6 + 6*x^5 + 15*x^4 + 20*x^3 + 15*x^2 + 6*x + 1

• 三角函数展开

 syms x y; 
 f=sin(x+y);
 expand(f)
 ans =
 
cos(x)*sin(y) + cos(y)*sin(x) 

3.3 合并同类项

• collect(f,v): 按指定变量 v 进行合并
• collect(f): 按默认变量进行合并

 syms x y;  
 f= x^2*y + y*x - x^2 + 2*x ; 
 collect(f) 
 ans =
 
(y - 1)*x^2 + (y + 2)*x
 collect(f,y) 
 ans =
 
(x^2 + x)*y - x^2 + 2*x

3.4 函数简化

• y=simple(f): 对 f 尝试多种不同的算法进行 简化，返回其中最简短的形式
• [How,y]=simple(f): y 为 f 的最简短形式 ，How 中记录的为简化过程中使用的方法。

syms x; 
f=sin(x)^2 + cos(x)^2 ; 
simplify(f)
ans =
 
1 

3.5 分式通分

• [N,D]=numden(f): N 为通分后的分子，D 为通分后的分母

syms x y;  
f=x/y+y/x; 
[N,D]=numden(f) 
N =
 
x^2 + y^2
 
D =
 
x*y

3.6 多项式

• horner 多项式：嵌套形式的多项式

 syms x;  
 f=x^4+2*x^3+4*x^2+x+1; 
 g=horner(f) 
 g =
 
x*(x*(x*(x + 2) + 4) + 1) + 1

3.7 计算极限

• limit(f,x,a): 计算 $\lim_{x\to a}f(x)$
• limit(f,a): 当默认变量趋向于 a 时的极限
• limit(f): 计算 a=0 时的极限
• limit(f,x,a,‘right’): 计算右极限
• limit(f,x,a,‘left’): 计算左极限
• 示例：计算 $L=\lim_{h\to 0}\frac{ln(x+h)-ln(x)}{h}$, $M=\lim_{n\to\infty }(1-\frac{x}{n})$ⁿ

syms x h n;  
L=limit((log(x+h)-log(x))/h,h,0)
L =
 
1/x 
M=limit((1-x/n)^n,n,inf)
M =
 
exp(-x)

3.8计算导数

• g=diff(f,v)：求符号表达式 f 关于 v 的导数
• g=diff(f)：求符号表达式 f 关于默认变量的导数
• g=diff(f,v,n)：求 f 关于 v 的 n 阶导数

 syms x; 
 f=sin(x)+3*x^2;  
 g=diff(f,x)
 g =
 
6*x + cos(x) 

3.9计算积分

• int(f,v,a,b): 计算定积分 $\int_a^b{f(v)dv}$
• int(f,a,b): 计算关于默认变量的定积分
• int(f,v): 计算不定积分 $\int{f(v)dv}$
• int(f): 计算关于默认变量的不定积分
• 示例：计算 $I=\int\frac{x^2+1}{x^2-2x+2}{dx}$, $K=\int_0^\infty{e^{-x^2}dx}$

 syms x; 
 f=(x^2+1)/(x^2-2*x+2)^2; 
 I=int(f,x) 
 I =
(3*atan(x - 1))/2 + (x/2 - 3/2)/(x^2 - 2*x + 2)
 
 K=int(exp(-x^2),x,0,inf)
 K =
pi^(1/2)/2

3.10符号求和

• symsum(f,v,a,b): 求和 $\displaystyle\sum_{v=a}^{b} f(v)$
• symsum(f,a,b): 关于默认变量求和
• 示例：计算级数 $S=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$及其前100项的部分和 .

 syms n; 
 f=1/n^2; 
 S=symsum(f,n,1,inf) 
 S =
 
pi^2/6
 S100=symsum(f,n,1,100) 
 S100 =
 
1589508694133037873112297928517553859702383498543709859889432834803818131090369901/972186144434381030589657976672623144161975583995746241782720354705517986165248000

3.11 代数方程求解

• solve(f,v)：求方程关于指定自变量的解，f 可以是 用字符串表示的方程、符号表达式或符号方程；
• solve 也可解方程组(包含非线性)；
• 得不到解析解时，给出数值解

3.12 微分方程求解

• y=dsolve(‘eq1’,‘eq2’, … ,‘cond1’,‘cond2’, … ,‘v’)
• 其中 y 为输出的解， eq1、eq2、. . . 为微分方程， cond1、cond2、…为初值条件， v 为自变量 。
• 示例：求微分方程 $\frac{dy}{ax}+2xy=xe^{-x^2}$的通解，并验证。

y=dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)','x') 
syms x; 
diff(y)+2*x*y - x*exp(-x^2) 

y =C1*exp(-x^2) + (x^2*exp(-x^2))/2
ans =2*x*(C1*exp(-x^2) + (x^2*exp(-x^2))/2) - x^3*exp(-x^2) - 2*C1*x*exp(-x^2)

• 微分方程中用 D 表示对 自变量 的导数，如： Dy y’； D2y y’’； D3y y’’’
• 如果省略初值条件，则表示求通解；
• 如果省略自变量，则默认自变量为 t
• 若找不到解析解，则返回其积分形式。
• 示例：求微分方程 $xy'+y-e^x=0$满足初值条件y(1)=2e的特解，并画出解函数的图形。

y=dsolve('x*Dy+y-exp(x)=0','y(1)=2*exp(1)', 'x') 
y =
(exp(1) + exp(x))/x
ezplot(y); 

3.13 反函数

• finverse(f,v)：求 f 关于指定变量 v 的反函数
• finverse(f)：求 f 关于默认变量的反函数
• 计算函数 $f=x^2+2t$的反函数

 syms x t; 
 f=x^2+2*t; 
 g1=finverse(f,x) 
 g2=finverse(f,t) 

g1 =(x - 2*t)^(1/2)
g2 =- x^2/2 + t/2

4.总结

对MATLAB符号运算的学习笔记就分享到这儿，下一篇就介绍MATLAB的程序设计，也是我们最核心的学习重点，作者知识浅陋，如有错误之处，不吝赐教。