高斯消元处理自由变元的方法

在普通的高斯消元中，我们可以直接将矩阵削成对角线矩阵。

void gauss(double sz[1002][1002],int n,double ans[1002])
{
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        int wz=i;
        for(int j=i+1;j<n;j++)
        {
            if(fabs(sz[j][i])>fabs(sz[wz][i]))
                wz=j;
        }
        if(fabs(sz[wz][i])<eps)continue;//1
        if(i!=wz)
        {
            for(int j=i;j<=n;j++)
            {
                double t=sz[i][j];
                sz[i][j]=sz[wz][j];sz[wz][j]=t;
            }
        }
        double z=sz[i][i];
        for(int j=i;j<=n;j++)sz[i][j]/=z;
        for(int j=0;j<n;j++)
        {
            if(j==i||fabs(sz[j][i])<eps)continue;
            double t=sz[j][i];
            for(int k=i;k<=n;k++)
                sz[j][k]-=sz[i][k]*t;
        }
    }
    for(int i=0;i<n;i++)
        ans[i]=sz[i][n]/sz[i][i];
}

但是，如果发生“1”处的问题，说明无解或有无穷解。
无解情况就是说，在某一行上出现了"\(0\times x=a(a!=0)\)"的情况，这可以直接判掉。
在无穷解时，由于1后面的语句没有执行，因此只能将矩阵削成上三角矩阵。
此时，若一个未知数有确定的解，那么在那一行，也会有且只有一个非0数，这也可以直接判掉。
之后，剩余的未知数若在对角线上为0，则它是自由元。否则，可以用已经算出的未知数消去那一行，将它变为自由元的表达式。

在解决关灯问题时，可以直接\(2^n\)枚举所有自由变元，然后把它们代入求出剩余的未知数。