Box-cox变换

Box-Cox变换

 Box和Cox于1964年提出了一种基于极大似然法的幂转换模型。Box-Cox幂分布族是一种十分有用的连续分布族。其转换模型为

$$y^{(\lambda)} = \begin {cases} \frac {y^\lambda-1} {\lambda},\lambda \ne 0 \\ ln y,\lambda = 0 \end {cases} \tag 1$$
 这里 $\lambda$是一个待定的变换参数。对不同的 $\lambda$，所做的变换自然不同，所以就是一个变换族。对因
变量的观察值 $y_1,\cdots，y_n$，应用上述变换，得到变换后的变量为:
$$y^{(\lambda)} = (y_1^{(\lambda)},\cdots,y_n^{(\lambda)}) \tag 2$$
 这就是说，要求通过因变量的变换，使得变换后的 $y^{(\lambda)}$与自变量具有线性依托关系。因此，Box-Cox变换是通过参数的适当选择，达到对原来数据的“综合治理”，使其满足一个线性模型条件。

 对于$\lambda$值的选择，可以通过极大似然法来估计。首先，在一个经验范围内选择参数$\lambda$的值，然后使用下式计算:
$L^{(\lambda)} = - \frac {n} {2} ln \sigma ^2+ln J(\lambda,y) \tag 3$
 上式中，对于所有的$\lambda$,有：

$$ln J(\lambda,y) = \prod _{i=1}^{n} \frac {\partial W_r}{ \partial y_i}= \prod _{i=1}^{n} y^{\lambda -1}_{i} \tag 4$$
 对于每一个 $\lambda$来说， $\sigma ^2$是 $y^{(\lambda)}$的极大似然估计，可通过式 $(5)$计算得到:
$$\sigma^2_a = \frac {1} {n} \sum \limits _{i=1} ^n (y_i^{(\lambda)}-\overline y^{(\lambda)})^2 \tag 5$$
 经推导可得到如下方程：
$$L^{(\lambda)} = - \frac {n} {2} ln [ \sum \limits _{i=1} ^n \frac{(y_i^{(\lambda)}-\overline y^{(\lambda)})^2} {n}+(\lambda -1) \cdot \sum \limits _{i=1} ^n ln y_i\tag 6$$
 上式中，
$$\overline y^{(\lambda)} = \frac {1} {n} \sum \limits _{i=1} ^n y_i^{(\lambda)}$$
 每一个 $\lambda$对应的 $\lambda^{(\lambda)}$都可得到相应的 $L^{(\lambda)}$。由此可以描绘相应的 $\lambda$与 $L^{(\lambda)}$的关系图，从中我们可以得到相应的最优 $\lambda ^*$，使得 $L^{(\lambda)}$最大；该优化的 $\lambda ^*$对应了最优的转换模型。