Wannafly Winter Camp 2020 Day 6A Convolution - NTT

求 \(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n 2^{a_ia_j}\)

Solution

化简一下
\[ 2^{a_ia_j} = p^{(a_i+a_j)^2-a_i^2-a_j^2}, \ p^2= 2(\bmod 998244353) \]
这个 \(p\) 我们可以预先暴力找到它 \(=116195171\)，计算答案
\[ \begin{align} &\sum_i \sum_j p^{(a_i+a_j)^2-a_i^2-a_j^2} \\ =& \sum_kp^{k^2} \sum_{a_i+a_j=k}p^{-a_i^2}p^{-a_j^2} \end{align} \]
设 \(f(x)=\sum_i p^{-a_i^2}x^{a_i}\)，则答案即为
\[ \sum_k p^{k^2}[x^k]f^2(x) \]
用 NTT 计算即可