P2822 组合数问题

题目描述

组合数 $C_n^mCnm 表示的是从 nn 个物品中选出 mm 个物品的方案数。举个例子，从 (1,2,3)(1,2,3) 三个物品中选择两个物品可以有 (1,2),(1,3),(2,3)(1,2),(1,3),(2,3) 这三种选择方法。根据组合数的定义，我们可以给出计算组合数 C_n^mCnm 的一般公式：$

$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}Cnm=m!(n−m)!n!$

其中 $n!=1\times2\times\cdots\times nn!=1×2×⋯×n ；特别地，定义 0!=10!=1 。$

小葱想知道如果给定 $0\leq i\leq n,0\leq j\leq \min \left ( i, m \right )0≤i≤n,0≤j≤min(i,m) 有多少对 (i,j)(i,j) 满足 C_i^jCij 是 kk 的倍数。$

输入输出格式

输入格式：

第一行有两个整数

接下来

输出格式：

共 $0\leq i\leq n,0\leq j\leq \min \left ( i, m \right )0≤i≤n,0≤j≤min(i,m) 中有多少对 (i,j)(i,j) 满足 C_i^jCij 是 kk 的倍数。$

输入输出样例

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1 2
3 3

输出样例#1：复制

输入样例#2：复制

2 5
4 5
6 7

输出样例#2：复制

0
7

说明

【样例1说明】

在所有可能的情况中，只有 $C_2^1 = 2C21=2 是2的倍数。$

【子任务】

题解：杨辉三角求组合数，中间几组数据忽略了M<N就ＷＡ了，没预处理；求和在线的二维树状数组，可以先dp预处理更优；

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
int n,m,k,t,N;
int k1, k2;
const int M = 2010;
ll c1[M][M],c2[M][M],a1[M][M],a2[M][M];
void add(int x, int y, int k){
    x++,y++;
    if(k == 1){
        for( ; x <= N; x += x&(-x))
            for(int j = y ; j <= N; j += j&(-j))
                a1[x][j]++;
    }
    if(k == 2){
        for( ; x <= N; x += x&(-x))
            for(int j = y ; j <= N; j += j&(-j))
                a2[x][j]++;
    }

}
ll sum(int x, int y, int k){
    ll ans = 0;
    x++,y++;
    if(k == k1){
        for( ; x > 0; x -= x&(-x))
            for(int j = y ; j > 0; j -= j&(-j))
                ans += a1[x][j];
    }
    if(k == k2){
        for( ; x > 0; x -= x&(-x))
            for(int j = y ; j > 0; j -= j&(-j))
                ans += a2[x][j];
    }
    return ans;
}
void init(int a, int b, int n){
    k1 = a, k2 = b, N = n;
    c1[0][0] = c2[0][0] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 0; j <= i; j++){
            if(!j)c1[i][j] = c2[i][j] = 1;
            else c1[i][j] = (c1[i - 1][j-1] + c1[i - 1][j]) % k1,
                c2[i][j] = (c2[i - 1][j-1] + c2[i - 1][j]) % k2;
            if(!c1[i][j])add(i, j, 1);
            if(!c2[i][j])add(i, j, 2);
        }


}
int main()
{
   // freopen("problem.in","r",stdin);
   // freopen("problem.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&t,&k);
    switch(k){
        case 2: case 3: init(2, 3, 5);break;
        case 4: case 5: init(4, 5, 10);break;
        case 6: case 7: init(6, 7, 12);break;
        case 8: case 9: init(8, 9, 105);break;
        case 10: case 11: init(10, 11, 2005);break;
        case 12: case 13: init(12, 13, 75);break;
        case 14: case 15: init(14, 15, 105);break;
        case 16: case 17: init(16, 17, 105);break;
        case 18: case 19: init(18, 19, 2005);break;
        case 20: case 21: init(20, 21, 2005);break;
    }
    while(t--){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        printf("%lld\n",sum(n, m, k));

    }
    return 0;
}

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P2827 蚯蚓

题目描述

本题中，我们将用符号 $\lfloor c \rfloor⌊c⌋ 表示对 cc 向下取整，例如： \lfloor 3.0 \rfloor = \lfloor 3.1 \rfloor = \lfloor 3.9 \rfloor = 3⌊3.0⌋=⌊3.1⌋=⌊3.9⌋=3 。$

蛐蛐国最近蚯蚓成灾了！隔壁跳蚤国的跳蚤也拿蚯蚓们没办法，蛐蛐国王只好去请神刀手来帮他们消灭蚯蚓。

蛐蛐国里现在共有 $a_iai ( i=1,2,\dots,ni=1,2,…,n)，并保证所有的长度都是非负整数（即：可能存在长度为 00 的蚯蚓）。$

每一秒，神刀手会在所有的蚯蚓中，准确地找到最长的那一只（如有多个则任选一个）将其切成两半。神刀手切开蚯蚓的位置由常数 $，神刀手会将其切成两只长度分别为\lfloor px \rfloor⌊px⌋ 和 x - \lfloor px \rfloorx−⌊px⌋ 的蚯蚓。特殊地，如果这两个数的其中一个等于 00 ，则这个长度为 00 的蚯蚓也会被保留。此外，除了刚刚产生的两只新蚯蚓，其余蚯蚓的长度都会增加 qq （是一个非负整常数）。$

蛐蛐国王知道这样不是长久之计，因为蚯蚓不仅会越来越多，还会越来越长。蛐蛐国王决定求助于一位有着洪荒之力的神秘人物，但是救兵还需要

蛐蛐国王希望知道这

蛐蛐国王当然知道怎么做啦！但是他想考考你……

输入输出格式

输入格式：

第一行包含六个整数

第二行包含 $a_1, a_2, \dots, a_na1,a2,…,an ，即初始时 nn 只蚯蚓的长度。$

同一行中相邻的两个数之间，恰好用一个空格隔开。

保证 $\leq n \leq 10^51≤n≤105 ， 0 \leq m \leq 7 \times 10^60≤m≤7×106 ， 0 < u < v \leq 10^90<u<v≤109 ， 0 \leq q \leq 2000≤q≤200 ， 1 \leq t \leq 711≤t≤71 ， 0 \leq a_i \leq 10^80≤ai≤108 。$

输出格式：

第一行输出 $\left \lfloor \frac{m}{t} \right \rfloor⌊tm⌋ 个整数，按时间顺序，依次输出第 tt 秒，第 2t2t 秒，第 3t3t 秒，……被切断蚯蚓（在被切断前）的长度。$

第二行输出 $\left \lfloor \frac{n+m}{t} \right \rfloor⌊tn+m⌋ 个整数，输出 mm 秒后蚯蚓的长度；需要按从大到小的顺序，依次输出排名第 tt ，第 2t2t ，第 3t3t，……的长度。$

同一行中相邻的两个数之间，恰好用一个空格隔开。即使某一行没有任何数需要输出，你也应输出一个空行。

请阅读样例来更好地理解这个格式。

输入输出样例

输入样例#1：复制

3 7 1 1 3 1
3 3 2

输出样例#1：复制

3 4 4 4 5 5 6
6 6 6 5 5 4 4 3 2 2

输入样例#2：复制

3 7 1 1 3 2
3 3 2

输出样例#2：复制

4 4 5
6 5 4 3 2

输入样例#3：复制

3 7 1 1 3 9
3 3 2

输出样例#3：复制

//空行
2

说明

【样例解释1】

在神刀手到来前：3只蚯蚓的长度为3,3,2。

1秒后：一只长度为3的蚯蚓被切成了两只长度分别为1和2的蚯蚓，其余蚯蚓的长度增加了1。最终4只蚯蚓的长度分别为(1,2),4,3。括号表示这个位置刚刚有一只蚯蚓被切断

2秒后：一只长度为4的蚯蚓被切成了1和3。5只蚯蚓的长度分别为：2,3,(1,3),4。

3秒后：一只长度为4的蚯蚓被切断。6只蚯蚓的长度分别为：3,4,2,4,(1,3)。

4秒后：一只长度为4的蚯蚓被切断。7只蚯蚓的长度分别为：4,(1,3),3,5,2,4。

5秒后：一只长度为5的蚯蚓被切断。8只蚯蚓的长度分别为：5,2,4,4,(1,4),3,5。

6秒后：一只长度为5的蚯蚓被切断。9只蚯蚓的长度分别为：（1,4),3,5,5,2,5,4,6。

7秒后：一只长度为6的蚯蚓被切断。10只蚯蚓的长度分别为：2,5,4,6,6,3,6,5,(2,4)。所以，7秒内被切断的蚯蚓的长度依次为3,4,4,4,5,5,6。7秒后，所有蚯蚓长度从大到小排序为6,6,6,5,5,4,4,3,2,2

【样例解释2】

这个数据中只有t=2与上个数据不同。只需在每行都改为每两个数输出一个数即可。

虽然第一行最后有一个6没有被输出，但是第二行仍然要重新从第二个数再开始输出。

【样例解释3】

这个数据中只有t=9与上个数据不同。

注意第一行没有数要输出，但也要输出一个空行。

【数据范围】

题解：开三个队列，1存原来的，2存第一段，3存第二段，每次找3个队列中最大的，可以保证队列是单调递减的，证明如下：

if La > Lb, 经过m秒后， La1 = p * La + m*q, La2 = （1-P）* L a + m* q;

　　　　　此时砍B ， Lb1 = p*(Lb +m*q), Lb2 = (1-p) * (Lb + m*q); ( p < 1)

　　　　　　　　La1 > Lb1 , La2 > Lb2;

这道题卡常，最后合并3个队列时直接找，不要再开一个数组

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define ll long long
ll w[4][8000005], a[8000005];
int h[4],tt[4];
const ll inf = 1e15;
bool cmp(ll a, ll b){return a>b;}
void read(ll &x){
    ll f=1;x=0;char s=getchar();
    while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
    while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}
    x*=f;
}

int main()
{
    //freopen("earthworm.in","r",stdin);
    //freopen("earthworm.out","w",stdout);
    double p = 0;
    int cnt = 0, n, m, q, u, v, t;
    scanf("%d%d%d%d%d%d",&n,&m,&q,&u,&v,&t);
    p = u*1.0 / v;
    for(int i = 1; i <= n; i++)read(w[1][i]);
    sort(w[1]+1,w[1]+1+n,cmp);
    h[1] = h[2] = h[3] = 1;
    tt[1] = n; tt[2] = tt[3] = 0;
    int tot = n;
    for(int i = 1; i <= m; i++){
        ll b, c, mx = -inf;
        tot++;
        int mh;
        for(int j = 1; j <= 3; j++)
            if(w[j][h[j]] > mx && h[j] <= tt[j]) mx = w[j][h[j]], mh = j;
        h[mh]++;
        //printf("%I64d %d  ",mx+cnt,mh);
        mx += cnt;
        if(i % t == 0)printf("%lld ",mx);
        b = floor(p*mx); c = mx- b;
        cnt += q;
        w[2][++tt[2]] = b-cnt; w[3][++tt[3]] = c-cnt;
    }

    printf("\n");
    int qq = 0;
    for(int i = 1; i <= tot; i++){
        ll mx = -inf;
        int mh;
        for(int j = 1; j <= 3; j++)
            if(w[j][h[j]] > mx && h[j] <= tt[j]) mx = w[j][h[j]], mh = j;
        h[mh]++;
        if(i%t == 0)printf("%lld ",mx+cnt);
    }
        
    return 0;
}

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P2831 愤怒的小鸟

题目描述

Kiana 最近沉迷于一款神奇的游戏无法自拔。

简单来说，这款游戏是在一个平面上进行的。

有一架弹弓位于 $y=ax^2+bxy=ax2+bx 的曲线，其中 a,ba,b 是 Kiana 指定的参数，且必须满足 a < 0a<0 ， a,ba,b 都是实数。$

当小鸟落回地面（即

在游戏的某个关卡里，平面的第一象限中有 $\left(x_i,y_i \right)(xi,yi) 。$

如果某只小鸟的飞行轨迹经过了 $\left( x_i, y_i \right)(xi,yi) ，那么第 ii 只小猪就会被消灭掉，同时小鸟将会沿着原先的轨迹继续飞行；$

如果一只小鸟的飞行轨迹没有经过 $\left( x_i, y_i \right)(xi,yi) ，那么这只小鸟飞行的全过程就不会对第 ii 只小猪产生任何影响。$

例如，若两只小猪分别位于 $y=-x^2+4xy=−x2+4x 的小鸟，这样两只小猪就会被这只小鸟一起消灭。$

而这个游戏的目的，就是通过发射小鸟消灭所有的小猪。

这款神奇游戏的每个关卡对 Kiana 来说都很难，所以 Kiana 还输入了一些神秘的指令，使得自己能更轻松地完成这个游戏。这些指令将在【输入格式】中详述。

假设这款游戏一共有

输入输出格式

输入格式：

第一行包含一个正整数

下面依次输入这 $x_i,y_ixi,yi ，表示第 ii 只小猪坐标为 (x_i,y_i)(xi,yi) 。数据保证同一个关卡中不存在两只坐标完全相同的小猪。$

如果

如果 $\lceil n/3 + 1 \rceil⌈n/3+1⌉ 只小鸟即可消灭所有小猪。$

如果 $\lfloor n/3 \rfloor⌊n/3⌋ 只小猪。$

保证 $1\leq n \leq 181≤n≤18 ， 0\leq m \leq 20≤m≤2 ， 0 < x_i,y_i < 100<xi,yi<10 ，输入中的实数均保留到小数点后两位。$

上文中，符号 $\lceil c \rceil⌈c⌉ 和 \lfloor c \rfloor⌊c⌋ 分别表示对 cc 向上取整和向下取整，例如： \lceil 2.1 \rceil = \lceil 2.9 \rceil = \lceil 3.0 \rceil = \lfloor 3.0 \rfloor = \lfloor 3.1 \rfloor = \lfloor 3.9 \rfloor = 3⌈2.1⌉=⌈2.9⌉=⌈3.0⌉=⌊3.0⌋=⌊3.1⌋=⌊3.9⌋=3 。$

输出格式：

对每个关卡依次输出一行答案。

输出的每一行包含一个正整数，表示相应的关卡中，消灭所有小猪最少需要的小鸟数量。

输入输出样例

输入样例#1：复制

输出样例#1：复制

1
1

输入样例#2：复制

输出样例#2：复制

2
2
3

输入样例#3：复制

输出样例#3：复制

说明

【样例解释1】

这组数据中一共有两个关卡。

第一个关卡与【问题描述】中的情形相同，2只小猪分别位于（1.00,3.00)和 (3.00,3.00)，只需发射一只飞行轨迹为y = -x^2 + 4x的小鸟即可消灭它们。

第二个关卡中有5只小猪，但经过观察我们可以发现它们的坐标都在抛物线 y = -x^2 + 6x上，故Kiana只需要发射一只小鸟即可消灭所有小猪。

【数据范围】

题解：原题还写错了，应该反思；

每只猪有打和不打两个状态，所以状压dp；

O(N*N*2^N) + O(N*N*N) 预处理

dp[s | g[i][j] ] = min(dp[s] +1), dp[0] = 0;

dp[s] 表示s状态需要多少只鸟， g[i][j] 是预处理的鸟的抛物线可以打那些猪；处理g[i][j]时没用的边踢掉，不然会T；

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int M = 20;
double x[M], y[M], a[M][M], b[M][M];
int g[M][M], dp[1<<20];
const double eps = 1e-6;
bool build(int i, int j){
    a[i][j] = (y[i]/x[i] - y[j]/x[j]) / (x[i] - x[j]);
    if(a[i][j] >= 0)return false;

    b[i][j] = (y[i] - a[i][j]*x[i]*x[i]) / x[i];
    return 1;
}
bool check(int i, int j, int k){
    double tmp = a[i][j]*x[k]*x[k] + b[i][j] * x[k];
    if(fabs(tmp - y[k]) < eps) return 1;
    return 0;
}
int main()
{
    //freopen("angrybirds.in","r",stdin);
    //freopen("angrybirds.out","w",stdout);
    int T, n, m;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i = 1; i <= n; i++)scanf("%lf%lf",&x[i],&y[i]);
        memset(g, 0, sizeof(g));
        memset(a, 0, sizeof(a));
        memset(b, 0, sizeof(b));
        for(int i = 0; i <= n; i++){
            
            for(int j = i+1; j <= n; j++){
                if(!i)g[i][j] = 1<<(j-1);
                else if(build(i, j)){
                    g[i][j] |= 1<<(i-1);
                    g[i][j] |= 1<<(j-1);
                    for(int k = 1; k <= n; k++)
                        if(check(i, j, k))g[i][j] |= (1<<(k-1));    
                }
                
            }
        }
        memset(dp, 127, sizeof(dp));
        dp[0] = 0;
        for(int s = 0; s < (1<<n); s++)
            for(int i = 0; i <= n; i++)
                for(int j = i; j <= n; j++)
                    dp[s|g[i][j]] = min(dp[s|g[i][j]], dp[s]+1);
        printf("%d\n",dp[(1<<n)-1]);
    }

    return 0;
}

View Code

O（N*2^N)，

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int M = 20;
double x[M], y[M], a[M][M], b[M][M];
int g[M][M], dp[1<<20];
const double eps = 1e-6;
inline bool build(int i, int j){
    a[i][j] = (y[i]/x[i] - y[j]/x[j]) / (x[i] - x[j]);
    if(a[i][j] >= 0)return false;
    b[i][j] = (y[i] - a[i][j]*x[i]*x[i]) / x[i];
    return 1;
}
inline bool check(int i, int j, int k){
    double tmp = a[i][j]*x[k]*x[k] + b[i][j] * x[k];
    if(fabs(tmp - y[k]) < eps) return 1;
    return 0;
}
inline int min(int a, int b){
    return a < b ? a : b;
}
int down(int s){
    int i = 0;
    while(!(s&(1<<i)))i++;
    return i+1;
}
int main()
{
   // freopen("angrybirds.in","r",stdin);
   // freopen("angrybirds.out","w",stdout);
    int T, n, m, cnt = 0;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i = 1; i <= n; i++)scanf("%lf%lf",&x[i],&y[i]);
        memset(g, 0, sizeof(g));
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            for(int j = i+1; j <= n; j++){
                if(build(i, j)){
                    for(int k = 1; k <= n; k++)
                        if(check(i, j, k))g[i][j] |= (1<<(k-1));    
                }
                
            }
        }
        for(int i = 1; i <= (1<<n); i++)dp[i] = 28;
        dp[0] = 0;
        for(int s = 1; s < (1<<n); s++){
            int i = down(s);
            dp[s] = min(dp[s], dp[s-(1<<(i-1))]+1);
            for(int j = i+1; j<= n; j++){
                int ss = (s&g[i][j]);
                    dp[s] = min(dp[s], dp[s^ss]+1);
            }
        }
        printf("%d\n",dp[(1<<n)-1]);
    }

    return 0;
}

View Code

Noip2016day2

P2822 组合数问题

题目描述

输入输出格式

输入输出样例

说明

P2827 蚯蚓

题目描述

输入输出格式

输入输出样例

说明

P2831 愤怒的小鸟

题目描述

输入输出格式

输入输出样例

说明

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