组合数问题

题目描述

组合数 $CnmC_n^mCnm 表示的是从 nnn 个物品中选出 mmm 个物品的方案数。举个例子，从 (1,2,3)(1,2,3)(1,2,3) 三个物品中选择两个物品可以有 (1,2),(1,3),(2,3)(1,2),(1,3),(2,3)(1,2),(1,3),(2,3) 这三种选择方法。根据组合数的定义，我们可以给出计算组合数 CnmC_n^mCnm 的一般公式：$

$Cnm=n!m!(n−m)!C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}Cnm=m!(n−m)!$

其中 $n!=1×2×⋯×nn!=1\times2\times\cdots\times nn!=1×2×⋯×n；特别地，定义 0!=10!=10!=1。$

小葱想知道如果给定 $0≤i≤n,0≤j≤min⁡(i,m)0\leq i\leq n,0\leq j\leq \min \left ( i, m \right )0≤i≤n,0≤j≤min(i,m) 有多少对 (i,j)(i,j)(i,j) 满足 CijC_i^jCij 是 kkk 的倍数。$

输入输出格式

输入格式：

第一行有两个整数

接下来

输出格式：

共 $0≤i≤n,0≤j≤min⁡(i,m)0\leq i\leq n,0\leq j\leq \min \left ( i, m \right )0≤i≤n,0≤j≤min(i,m) 中有多少对 (i,j)(i,j)(i,j) 满足 CijC_i^jCij 是 kkk 的倍数。$

输入输出样例

输入样例#1： 复制

1 2
3 3

输出样例#1： 复制

输入样例#2： 复制

2 5
4 5
6 7

输出样例#2： 复制

0
7

说明

【样例1说明】

在所有可能的情况中，只有 $C21=2C_2^1 = 2C21=2是2的倍数。$

【子任务】

首先要明白一个公式：c(i,j)=c(i-1,j)+c(i-1,j-1),所以可以先把图打出来，注意每次都要取模，否则会炸；

如何计算个数？运用dp（或前缀和？）的思想ans[i][j]=ans[i-1][j]+ans[i][j-1]-ans[i-1][j-1]+cnt[i][j];ans[i][j]指以i，j结尾的矩阵中的解；

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch>'9'||ch<'0') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') {x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return f*x;
}

int ans[2005][2005],mp[2005][2005],t,k;

void prepare(){
    mp[0][0]=mp[1][0]=mp[1][1]=1;
    for(int i=2;i<=2000;i++){
        mp[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=i;j++){
            mp[i][j]=(mp[i-1][j]+mp[i-1][j-1])%k;
            ans[i][j]=ans[i-1][j]+ans[i][j-1]-ans[i-1][j-1];
            if(mp[i][j]==0) ans[i][j]++;
        }
        ans[i][i+1]=ans[i][i];//想想为什么
    }
}

int main(){
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    t=read(),k=read();
    memset(mp,0,sizeof(mp));
    prepare();
    while(t--){
        int n=read(),m=read();
        if(m>n) m=n;
        printf("%d\n",ans[n][m]);
    }
    return 0;
}

蚯蚓

题目描述

本题中，我们将用符号 $⌊c⌋\lfloor c \rfloor⌊c⌋ 表示对 ccc 向下取整，例如：⌊3.0⌋=⌊3.1⌋=⌊3.9⌋=3\lfloor 3.0 \rfloor = \lfloor 3.1 \rfloor = \lfloor 3.9 \rfloor = 3⌊3.0⌋=⌊3.1⌋=⌊3.9⌋=3。$

蛐蛐国最近蚯蚓成灾了！隔壁跳蚤国的跳蚤也拿蚯蚓们没办法，蛐蛐国王只好去请神刀手来帮他们消灭蚯蚓。

蛐蛐国里现在共有 $aia_iai (i=1,2,…,ni=1,2,\dots,ni=1,2,…,n)，并保证所有的长度都是非负整数（即：可能存在长度为 000 的蚯蚓）。$

每一秒，神刀手会在所有的蚯蚓中，准确地找到最长的那一只（如有多个则任选一个）将其切成两半。神刀手切开蚯蚓的位置由常数 $⌊px⌋\lfloor px \rfloor⌊px⌋ 和 x−⌊px⌋x - \lfloor px \rfloorx−⌊px⌋ 的蚯蚓。特殊地，如果这两个数的其中一个等于 000，则这个长度为 000 的蚯蚓也会被保留。此外，除了刚刚产生的两只新蚯蚓，其余蚯蚓的长度都会增加 qqq（是一个非负整常数）。$

蛐蛐国王知道这样不是长久之计，因为蚯蚓不仅会越来越多，还会越来越长。蛐蛐国王决定求助于一位有着洪荒之力的神秘人物，但是救兵还需要

蛐蛐国王希望知道这

蛐蛐国王当然知道怎么做啦！但是他想考考你……

输入输出格式

输入格式：

第一行包含六个整数

第二行包含 $a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_na1,a2,…,an，即初始时 nnn 只蚯蚓的长度。$

同一行中相邻的两个数之间，恰好用一个空格隔开。

保证 $\leq n \leq 10^51≤n≤105，0≤m≤7×1060 \leq m \leq 7 \times 10^60≤m≤7×106，0<u<v≤1090 < u < v \leq 10^90<u<v≤109，0≤q≤2000 \leq q \leq 2000≤q≤200，1≤t≤711 \leq t \leq 711≤t≤71，0≤ai≤1080 \leq a_i \leq 10^80≤ai≤108。$

输出格式：

第一行输出 $⌊mt⌋\left \lfloor \frac{m}{t} \right \rfloor⌊t$

第二行输出 $⌊n+mt⌋\left \lfloor \frac{n+m}{t} \right \rfloor⌊t$

同一行中相邻的两个数之间，恰好用一个空格隔开。即使某一行没有任何数需要输出，你也应输出一个空行。

请阅读样例来更好地理解这个格式。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

3 7 1 1 3 1
3 3 2

输出样例#1： 复制

3 4 4 4 5 5 6
6 6 6 5 5 4 4 3 2 2

输入样例#2： 复制

3 7 1 1 3 2
3 3 2

输出样例#2： 复制

4 4 5
6 5 4 3 2

输入样例#3： 复制

3 7 1 1 3 9
3 3 2

输出样例#3： 复制

//空行
2

说明

【样例解释1】

在神刀手到来前：

3秒后：一只长度为

【样例解释2】

这个数据中只有

虽然第一行最后有一个

【样例解释3】

这个数据中只有

注意第一行没有数要输出，但也要输出一个空行。

【数据范围】

刚开始用的合并果子的思想，直接开一个优先队列，但数据过大，会tel

仔细分析，发现其实这之间本生就有单调性，即长的蚯蚓被切后比短的切后要长，则在开两个对列，一个存被切后短的一段，另一个反之；

注意只能用手工队列，stl会超时

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 
 4 const int maxn = 1e5+10;
 5 const int maxm=8e6;
 6 
 7 inline int read(){
 8     int x=0,f=1;char ch=getchar();
 9     while(ch>'9'||ch<'0') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
10     while(ch>='0'&&ch<='9') {x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
11     return f*x;
12 }
13 
14 int n,m,q,u,v,t,star[maxn],delta=0;
15 
16 int qxz(int x)
17 {
18     if(x<0) return x*((double)u/v)-1;
19     else if(x==0) return 0;
20     else return x*((double)u/v);
21 }
22 
23 int qu1[maxm],qu2[maxm],qu3[maxm];
24 
25 int h1,h2,h3,t1,t2,t3;
26 
27 bool cmp(int a,int b){
28     return a>b;
29 }
30 
31 int ans[maxm];
32 
33 int main(){
34     ///freopen("in.txt","r",stdin);
35     //freopen("out.txt","w",stdout);
36     n=read(),m=read(),q=read(),u=read(),v=read(),t=read();
37     h1=h2=h3=1;t1=t2=t3=0;
38     for(int i=1;i<=n;i++) qu1[++t1]=read();
39     sort(qu1+1,qu1+1+n,cmp);
40     for(int i=1;i<=m;i++){
41         int tp1=-1000000000,tp2=-1000000000,tp3=-1000000000,tp;
42         if(h1<=t1) tp1=max(tp1,qu1[h1]);
43         if(h2<=t2) tp2=max(tp2,qu2[h2]);
44         if(h3<=t3) tp3=max(tp3,qu3[h3]);
45         if(tp1>=tp2&&tp1>=tp3) tp=qu1[h1],h1++;
46         else if(tp2>=tp1&&tp2>=tp3) tp=qu2[h2],h2++;
47         else if(tp3>=tp1&&tp3>=tp2) tp=qu3[h3],h3++;
48         tp+=delta;
49         if(i%t==0) printf("%d ",tp);
50         int a=qxz(tp),b=tp-a;
51         delta+=q;
52         a-=delta;b-=delta;
53         if(a>=b) qu2[++t2]=a,qu3[++t3]=b;
54         else qu2[++t2]=b,qu3[++t3]=a;
55     }
56     printf("\n");
57     int tot=0;
58     while(h1<=t1||h2<=t2||h3<=t3){
59         int tp1=-1000000000,tp2=-1000000000,tp3=-1000000000;
60         if(h1<=t1) tp1=max(tp1,qu1[h1]);
61         if(h2<=t2) tp2=max(tp2,qu2[h2]);
62         if(h3<=t3) tp3=max(tp3,qu3[h3]);
63         if(tp1>=tp2&&tp1>=tp3) ans[++tot]=qu1[h1],h1++;
64         else if(tp2>=tp1&&tp2>=tp3) ans[++tot]=qu2[h2],h2++;
65         else if(tp3>=tp1&&tp3>=tp2) ans[++tot]=qu3[h3],h3++;    
66     }
67     
68     for(int i=1;i<=tot;i++){
69         if(i%t==0) printf("%d ",ans[i]+delta);
70     }
71     return 0;
72 }

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愤怒的小鸟

题目描述

Kiana 最近沉迷于一款神奇的游戏无法自拔。

简单来说，这款游戏是在一个平面上进行的。

有一架弹弓位于 $y=ax2+bxy=ax^2+bxy=ax2+bx 的曲线，其中 a,ba,ba,b 是Kiana 指定的参数，且必须满足 a<0a < 0a<0，a,ba,ba,b 都是实数。$

当小鸟落回地面（即

在游戏的某个关卡里，平面的第一象限中有 $(xi,yi)\left(x_i,y_i \right)(xi,yi)。$

如果某只小鸟的飞行轨迹经过了 $(xi,yi)\left( x_i, y_i \right)(xi,yi)，那么第 iii 只小猪就会被消灭掉，同时小鸟将会沿着原先的轨迹继续飞行；$

如果一只小鸟的飞行轨迹没有经过 $(xi,yi)\left( x_i, y_i \right)(xi,yi)，那么这只小鸟飞行的全过程就不会对第 iii 只小猪产生任何影响。$

例如，若两只小猪分别位于 $y=−x2+4xy=-x^2+4xy=−x2+4x 的小鸟，这样两只小猪就会被这只小鸟一起消灭。$

而这个游戏的目的，就是通过发射小鸟消灭所有的小猪。

这款神奇游戏的每个关卡对 Kiana来说都很难，所以Kiana还输入了一些神秘的指令，使得自己能更轻松地完成这个游戏。这些指令将在【输入格式】中详述。

假设这款游戏一共有

输入输出格式

输入格式：

第一行包含一个正整数

下面依次输入这 $xi,yix_i,y_ixi,yi，表示第 iii 只小猪坐标为 (xi,yi)(x_i,y_i)(xi,yi)。数据保证同一个关卡中不存在两只坐标完全相同的小猪。$

如果

如果 $⌈n/3+1⌉\lceil n/3 + 1 \rceil⌈n/3+1⌉ 只小鸟即可消灭所有小猪。$

如果 $⌊n/3⌋\lfloor n/3 \rfloor⌊n/3⌋ 只小猪。$

保证 $1≤n≤181\leq n \leq 181≤n≤18，0≤m≤20\leq m \leq 20≤m≤2，0<xi,yi<100 < x_i,y_i < 100<xi,yi<10，输入中的实数均保留到小数点后两位。$

上文中，符号 $⌈c⌉\lceil c \rceil⌈c⌉ 和 ⌊c⌋\lfloor c \rfloor⌊c⌋ 分别表示对 ccc 向上取整和向下取整，例如：⌈2.1⌉=⌈2.9⌉=⌈3.0⌉=⌊3.0⌋=⌊3.1⌋=⌊3.9⌋=3\lceil 2.1 \rceil = \lceil 2.9 \rceil = \lceil 3.0 \rceil = \lfloor 3.0 \rfloor = \lfloor 3.1 \rfloor = \lfloor 3.9 \rfloor = 3⌈2.1⌉=⌈2.9⌉=⌈3.0⌉=⌊3.0⌋=⌊3.1⌋=⌊3.9⌋=3。$

输出格式：

对每个关卡依次输出一行答案。

输出的每一行包含一个正整数，表示相应的关卡中，消灭所有小猪最少需要的小鸟数量。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

输出样例#1： 复制

1
1

输入样例#2： 复制

输出样例#2： 复制

2
2
3

输入样例#3： 复制

输出样例#3： 复制

说明

【样例解释1】

这组数据中一共有两个关卡。

第一个关卡与【问题描述】中的情形相同， $-x^2 + 4xy=−x2+4x的小鸟即可消灭它们。$

第二个关卡中有 $-x^2 + 6xy=−x2+6x上，故Kiana只需要发射一只小鸟即可消灭所有小猪。$

【数据范围】

题目叙述很长，但仔细分析，发现数据都很小

考虑两种方法

1：dfs

dfs中存3中状态，到那个猪，用了几条抛物线，之前有几只单独的

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cmath>
 3 using namespace std;
 4 
 5 const double eps=1e-8;
 6 const int maxn=20;
 7 int T,n,m,ans;
 8 
 9 bool bj[maxn];
10 
11 double x[maxn],y[maxn],wxa[maxn],wxb[maxn],tx[maxn],ty[maxn];
12 
13 bool pd(double a,double b){
14     return (fabs(a-b)<=eps);
15 }
16 
17 void dfs(int dq,int u,int v){
18     if(u+v>=ans) return;//最优性剪枝
19     if(dq==n+1){
20         ans=u+v;return;
21     }
22     bool flag=false;
23     for(int i=1;i<=u;i++){//找原来的抛物线
24         if(pd(wxa[i]*x[dq]*x[dq]+wxb[i]*x[dq],y[dq])) {
25             flag=1;
26             dfs(dq+1,u,v);
27             break;
28         }
29     }
30     if(!flag){
31         for(int i=1;i<=v;i++){
32             if(pd(x[dq],tx[i])) continue;
33             double a=(y[dq]*tx[i]-ty[i]*x[dq])/(x[dq]*tx[i]*(x[dq]-tx[i]));
34             double b=(ty[i]-a*tx[i]*tx[i])/tx[i];
35             if(a<0) {
36                 bj[i]=1;
37                 wxa[u+1]=a,wxb[u+1]=b;
38                 double q=tx[i],w=ty[i];
39                 for(int j=i;j<v;j++) tx[j]=tx[j+1],ty[j]=ty[j+1];
40                 dfs(dq+1,u+1,v-1);
41                 for(int j=v;j>i;j--) tx[j]=tx[j-1],ty[j]=ty[j-1];
42                 tx[i]=q,ty[i]=w;//回溯操作
43             } 
44         }//与原来单独的猪结队
45         tx[v+1]=x[dq],ty[v+1]=y[dq];
46         dfs(dq+1,u,v+1);//独立出来，看能否与后面的猪结队或直接单独一个
47     }
48 }
49 
50 int main(){
51     scanf("%d",&T);
52     while(T--){
53         scanf("%d%d",&n,&m);
54         for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf%lf",x+i,y+i);
55         ans=100;
56         dfs(1,0,0);
57         printf("%d\n",ans);
58     }
59     return 0;
60 }

View Code

2：状态压缩，重点在处理抛物线

一次枚举每个节点，看能否组合成抛物线，再看后面的能否包含其中

转移方程直接看代码就好

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 const double eps=1e-6;
 4 int countpara,para[400],dp[1<<19],t,n,m;
 5 
 6 double x[19],y[19];
 7 
 8 int main(){
 9     scanf("%d",&t);
10     while(t--){
11         memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
12         dp[0]=0;
13         countpara=0;
14         scanf("%d%d",&n,&m);
15         for(int i=0;i<n;i++) scanf("%lf%lf",x+i,y+i);
16         for(int i=0;i<n;i++){
17             para[++countpara]=1<<i;
18             for(int j=i+1,vis=0;j<n;j++){//vis用来判断节点是否已被包含进入抛物线里
19                 if(vis&(1<<j)) continue;
20                 if(x[i]==x[j]) continue;//注意，这个判断很重要，没加洛谷上只有90
21                 double a=(y[j]*x[i]-y[i]*x[j])/(x[i]*x[j]*(x[j]-x[i])),b=(y[j]-a*x[j]*x[j])/x[j];
22                 if(a>-eps) continue;
23                 para[++countpara]=(1<<i)|(1<<j);
24                 for(int k=j+1;k<n;k++){
25                     if(fabs(a*x[k]*x[k]+b*x[k]-y[k])<=eps) 
26                     vis|=(1<<k),para[countpara]|=(1<<k);
27                 }
28             }
29         }
30         for(int i=0;i<(1<<n);i++){
31             for(int j=1;j<=countpara;j++){
32                 dp[i|para[j]]=min(dp[i|para[j]],dp[i]+1);
33             }
34         }
35         printf("%d\n",dp[(1<<n)-1]);
36     }
37     return 0;
38 }

View Code

noip2016提高组day2

组合数问题

题目描述

输入输出格式

输入输出样例

说明

蚯蚓

题目描述

输入输出格式

输入输出样例

说明

愤怒的小鸟

题目描述

输入输出格式

输入输出样例

说明

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