多项式前置技能——复数

复数的基本概念

1.复数的形式

记   .我们把形如 a+bi（ a,b 均为实数）的数称为复数.

2.虚数单位

 类似的单位可以推比至 π ,在计算中,我们用 π 来表示圆周率. 其中 π 即为 3.1415926.... 

同样的, a+bi 中的 i 即表示一个虚数单位. 其中  .

3.实部和虚部的概念

在 a+bi 中, 我们称 a 为该复数的实部.

　　　　　　        b 为该复数的虚部.

4.纯虚数,复数,和实数的区分

我们把形如 bi 的数 成为 纯虚数.

然后复数即上文所述,然后关于三者的韦恩图是这样子的:

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关于复数的基本概念就如上文所书.

复数在几何中的引用

1.复平面

在平面内引两条坐标轴,

其中横坐标单位为实数,表示复数的实部大小.

然后纵轴的单位即为 复数单位 i .

2.复数与向量的关系

在复平面的坐标系中,复数 a+bi 可以被表示为 向量 (a,b) 

如图坐标轴中的向量即表示 复数 a+bi.

 

3.共轭复数

共轭复数：对于复数 z=a+biz=a+bi ，对于另外一个复数 z′=a−biz′=a−bi ，我们称 z′z′ 为 zz 的共轭复数，记做 z⎯⎯ 。

容易发现，一个复数与其共轭复数的实部相等，虚部互为相反数。

 

在引入了复数和向量的关系之后,我们可以更好地理解共轭复数的概念,用向量来解释,共轭复数就是两个大小相同,关于x轴对称的向量.

 

4.复数的幅角

复数的幅角与普通平面直角坐标系中直线的倾斜角比较相似.

其中,我们将

θ∈[−π,π)θ∈[−π,π) 的 θθ 叫做辐角的主值。

 

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复数相关

记 i=−1‾‾‾√i=−1 。我们把形如 a+bia+bi （ a,ba,b 均为实数）的数称为复数。

复数的意义

对于任意一个复数 a+bia+bi ，都能用复平面上的唯一一个向量 (a,b)(a,b) 来表示。

复平面：即复数平面，由实轴作为 xx 轴，虚轴作为 yy 轴构成。

下文中出现的向量 (a,b)(a,b) 来代指虚数 a+bia+bi 。

共轭复数：对于复数 z=a+biz=a+bi ，对于另外一个复数 z′=a−biz′=a−bi ，我们称 z′z′ 为 zz 的共轭复数，记做 z⎯⎯z¯ 。容易发现，一个复数与其共轭复数的实部相等，虚部互为相反数。

复数的辐角：我们可以将复数 zz 写成 z=r×(cosθ+isinθ)z=r×(cos⁡θ+isin⁡θ) ，其中 rr 为复数 zz 的模长， θθ 为复数 zz 的辐角。一个复数有多个辐角，这些值相差 2π2π 。我们将 θ∈[−π,π)θ∈[−π,π) 的 θθ 叫做辐角的主值。指数形式： z=r×(cosθ+isinθ)=reiθz=r×(cos⁡θ+isin⁡θ)=reiθ 。