理解决策树信息增益（information gain）

问题引出：信息增量是什么？干什么用？
一颗决策树中的非叶子节点有split函数，用于将当前所输入的数据分到左子树或者右子树。我们希望每一个节点的split函数的性能最大化。这里的性能是指把两种不同的数据分开的能力，不涉及到算法的时间复杂度。但是，怎么去衡量一个split函数的性能呢？这里我们使用信息增益来衡量 $I$。如果 $I$越大，说明该节点的split函数将输入数据分成两份的性能越好。

下面图片是一个决策树的例子。来自https://www.cnblogs.com/xiemaycherry/p/10475067.html

下面图片表示决策树中的三个节点，其中父节点有一个split函数，用于分割所输入的数据成两份。

如何计算信息增益 $I$？下面先给出公式，再讲本人的理解。

• 香侬交叉熵公式
  $H(S) = - \sum p(c_i)log(p(c_i))$

• 信息增益公式
  $I = H(S) - \sum{\frac{|S^i|}{S} H(S^i)}$

香侬交叉熵公式的理解：
这个公式应该分成两部分，第一部分是 $(-log(p(c_i))$, 第二部分是 $p( c_i)$。前者表示 $c_i$的信息量，后者表示 $c_i$出现的概率。所以，公式 $H(S) = - \sum p(c_i)log(p(c_i))$表示对于所有的c的信息量的期望。

一件事情的信息量跟这件事情发生的概率相关。可以直观理解为。一件事发生的概率越小，说明这件事的不确定越大，情况也就越复杂，所以信息量大。反之亦然。为了表示这种关系，我们使用下面图示公式来建模已知的一件事情的信息量： $-log(p(c_i)$

如果我们知道了每一件事所发生的信息量，再结合它所发生的概率，就可以计算它这些事情的信息量的期望了。（期望，其实是加权平均值，最简单的期望是均权平均值。所以公式 $H(S) = - \sum p(c_i)log(p(c_i))$的前面的 $p( c_i)$可以理解为平均值的权重了）。

下面给出两棵树，输入两次数据，每次都输入100个（第一次输入一百个红色的，第二次是一百个蓝色的）。哪一棵树的split函数的分割性能更好呢？
通过观察，第二棵树好一点，因为，第二棵树把大部分红色数据分到了左边，把大部分蓝色数据分到了右边。所以，第二棵树的信息增益比第一颗的好。

如何使用上面的数学公式计算呢？

下面的图片便是计算第一棵树的信息增量了，最后的结果约等于0.0054。通过同样的方式可以计算第二棵树的信息增量，比第一棵树大。

通过上面的计算过程，我们发现，如果一个节点的split函数将输入的数据均匀地切分成两份，那么相应地信息熵的期望为 $- \frac{50}{100} log \frac{50}{100} - \frac{50}{100} log \frac{50}{100} = 1$, log以2为底。

如果把输入数据分成两份不同的数据，比如下图所示，那么，交叉熵的期望就会变小。即下面公式的 $H(S^i)$变小，如果其它部分不变， $I$会变大。 $\frac{|S^i|}{S}$表示分到一个分支上的数据量占该分支所有数据量的比值（建议结合上面计算公式理解）。该比值越大，说明本次分割对当前分支的影响也就越大了。本质上它是一个权重值。

$I = H(S) - \sum{\frac{|S^i|}{S} H(S^i)}$

以上便是决策树的信息增量和本人的理解。